비교 판정법

미적분학에서 비교 판정법(比較判定法, 영어: comparison test)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 양항 급수가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다.

정의와 증명

급수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}}$
• 두 실수 항 급수 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$와 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

• 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ (즉, 어떤 ${\displaystyle N\geq n_{0}}$ 및 모든 ${\displaystyle n>N}$에 대하여, ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$)

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 수렴한다면, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$ 역시 수렴한다.
• 만약 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$이 발산한다면, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$ 역시 발산한다.

이를 비교 판정법이라고 한다.

증명:

두 명제는 서로 대우다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든 ${\displaystyle n\geq n_{0}}$에 대하여 ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 필요충분조건은 부분합 수열이 유계 수열인 것이다. 즉,

${\displaystyle S_{n}=a_{n_{0}}+a_{n_{0}+1}+\cdots +a_{n}}$

이라고 하였을 때, 어떤 ${\displaystyle M<\infty }$ 및 임의의 ${\displaystyle n\geq n_{0}}$에 대하여

${\displaystyle S_{n}\leq M}$

이어야 한다. (이는 실수의 완비성을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로

${\displaystyle T_{n}=b_{n_{0}}+b_{n_{0}+1}+\cdots +b_{n}}$

이라고 하자. 만약 급수 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 수렴한다면, 어떤 ${\displaystyle M<\infty }$ 및 임의의 ${\displaystyle n\geq n_{0}}$에 대하여

${\displaystyle T_{n}\leq M}$

이다. 그런데 항상 ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$이므로

${\displaystyle S_{n}\leq T_{n}\leq M}$

이다. 따라서 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$ 역시 수렴한다.

비교 판정법은 절대 수렴의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle (V,\|{\cdot }\|)}$
• ${\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}}$
• ${\displaystyle V}$ 항의 급수 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$와 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$
  • 만약 ${\displaystyle V=(\mathbb {K} ,|{\cdot }|)}$라면, 이는 두 실수 또는 복소수 항 급수다.

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

• 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|}$ (즉, 어떤 ${\displaystyle N\geq n_{0}}$ 및 모든 ${\displaystyle n>N}$에 대하여, ${\displaystyle \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|}$)
  • 만약 ${\displaystyle V=(\mathbb {K} ,|{\cdot }|)}$라면, 노름은 절댓값이며, ${\displaystyle \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|}$은 ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$이 된다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 절대 수렴한다면, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$ 역시 절대 수렴한다.
• 만약 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$이 절대 수렴하지 않는다면, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$ 역시 절대 수렴하지 않는다.

두 번째 명제에서, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어, ${\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n-1}}{n}}}$에 대응하는 급수는 조건 수렴한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 실수선의 완비성에만 의존하므로, 바나흐 공간이 아닌 노름 공간에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다.

증명:

비교 판정법의 이전 형태에서, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$와 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$을 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }\|a_{n}\|}$와 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }\|b_{n}\|}$으로 대체한다.

이상 적분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• 두 실수 값 함수 ${\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle b>a}$에 대하여, ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle [a,b]}$에서 리만 적분 가능하다.
• 어떤 ${\displaystyle X\geq a}$ 및 임의의 ${\displaystyle x\geq X}$에 대하여, ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)}$

그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.

• 만약 이상 적분 ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx}$가 수렴한다면, 이상 적분 ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$ 역시 수렴한다.
• 만약 이상 적분 ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$가 발산한다면, 이상 적분 ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,dx}$ 역시 발산한다.

따름정리

극한 비교 판정법

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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}}$
• 두 실수 항 급수 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$와 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle a_{n},b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle 0<\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<\infty }$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.

• 급수 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$이 수렴한다.
• 급수 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 수렴한다.

기타

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle n_{0}\in \{0,1\}}$
• 두 실수 항 급수 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$와 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$

또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$
• 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$

그렇다면, 어떤 ${\displaystyle N\geq n_{0}}$ 및 임의의 ${\displaystyle n\geq N}$에 대하여,

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=a_{N}\cdot {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\\&\leq a_{N}\cdot {\frac {b_{N+1}}{b_{N}}}\cdot {\frac {b_{N+2}}{b_{N+1}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\\&={\frac {a_{N}}{b_{N}}}\cdot b_{n}\end{aligned}}}$

이다. 만약 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$이 수렴한다면, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }{\frac {a_{N}}{b_{N}}}\cdot b_{n}}$ 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$도 수렴한다. 그 대우로서, 만약 ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$이 발산한다면, ${\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }b_{n}}$도 발산한다.

예

급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n-2}}{\mathrm {e} ^{n}n!}}}$

를 생각하자. ${\displaystyle a_{n}={\frac {n^{n-2}}{\mathrm {e} ^{n}n!}}}$라고 하였을 때,

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(1+1/n)^{n-2}}{\mathrm {e} }}<{\frac {(1+1/n)^{n-2}}{(1+1/n)^{n}}}={\frac {(n+1)^{-2}}{n^{-2}}}}$

이다. 급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$는 수렴하므로, #기타에 의하여 원래 급수는 수렴한다.

같이 보기

• 수렴판정법
• 수렴
• 지배 수렴 정리
• 적분판정법
• 단조 수렴 정리