확장 지배 수렴 정리
측도 공간
위의 가측 함수의 열
(
) 및 함수
에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열
(
) 및 가측 함수
가 존재한다고 하자.
- 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
- (점별 수렴)
은
로 점별 수렴하며,
은
로 점별 수렴한다.
- (거의 어디서나 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 거의 어디서나 수렴하며,
은
로 거의 어디서나 수렴한다.
- (측도 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 측도 수렴하며,
은
로 측도 수렴한다.
- (적분 가능성)

- (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든
에 대하여, 거의 어디서나 
그렇다면, 확장 지배 수렴 정리(擴張支配收斂定理, 영어: extended dominated convergence theorem, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:57, §2.3, Theorem 2.3.11
- (적분 가능성)

- (L1 수렴)

- (적분과 극한의 교환)

사실, 이 경우 셰페 정리(영어: Scheffé's theorem)에 따라
역시
로 L1 수렴한다.
증명 (점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴):
가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.
적분 가능성: 가정에 따라
와
는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라

이다.
L1 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나

이므로,
는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면

를 얻는다.
적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라

이다.
지배 수렴 정리
측도 공간
위의 가측 함수의 열
(
) 및 함수
에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수
가 존재한다고 하자.
- 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
- (점별 수렴)
은
로 점별 수렴한다.
- (거의 어디서나 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 거의 어디서나 수렴한다.
- (측도 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 측도 수렴한다.
- (적분 가능성)

- (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든
에 대하여, 거의 어디서나 
그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[2]:26[1]:57, §2.3, Corollary 2.3.12
- (적분 가능성)

- (L1 수렴)

- (적분과 극한의 교환)

확장 지배 수렴 정리에서
를 취한다.
유계 수렴 정리
유한 측도 공간
(
) 위의 가측 함수의 열
(
) 및 함수
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
- (점별 수렴)
은
로 점별 수렴한다.
- (거의 어디서나 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 거의 어디서나 수렴한다.
- (측도 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 측도 수렴한다.

그렇다면, 유계 수렴 정리(有界收斂定理, 영어: bounded convergence theorem, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:57, §2.3, Corollary 2.3.13
- (적분 가능성)

- (L1 수렴)

- (적분과 극한의 교환)

지배 수렴 정리에서

를 취한다.