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산술 기하 평균
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수학에서 산술 기하 평균(算術幾何平均, 영어: arithmetic–geometric mean)은 산술 평균과 기하 평균 연산에 의한 점화 수열에 극한을 취하여 얻어진 평균값이다. 구체적으로, 두 실수 x, y의 산술 기하 평균 M(x, y)는 다음과 같이 정의된다.
우선 두 수 x, y의 산술 평균을 a1, 기하 평균을 g1라고 하자.
이후 a1과 g1을 x와 y 자리에 넣어 이 연산을 반복하면 두 수열 (an), (gn)을 얻게 된다.
이 두 수열은 같은 값으로 수렴하며, 이 수렴값을 x와 y의 산술 기하 평균이라 한다. M(x, y) 또는 agm(x, y)로 표기한다.
일반화적인 산술평균 및 기하평균은 다음과 같다.
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예
요약
관점
24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.
이 과정을 다음과 같이 반복한다.
다섯번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.
반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 되는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.[1]
역사
두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 라그랑주의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 가우스에 의해 분석되었다.[2]
성질
요약
관점
기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다(산술-기하 평균 부등식), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최댓값보다 작다. 이러한 이유로 인해
이 성립한다. x = y인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다.
위에서 알 수 있듯이, M(x, y)는 x와 y 사이에서, 더 정확히는 기하 평균과 산술 평균의 사이에서 값을 취한다.
r ≥ 0에 대해, M(rx, ry) = r · M(x, y)의 등식이 성립한다.
다음은 M(x, y)의 적분 형식이다.
여기서 K(k)는 제1종 완전 타원 적분이다.
산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터의 설계 등에 사용되기도 한다.[3]
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관련 개념
1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수는 가우스 상수라고 불린다.
기하 조화 평균은 이와 비슷하게 기하 평균과 조화 평균을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 기하 평균과 같다.
산술 기하 평균은 로그와 제1종 완전 타원 적분을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 제2종 완전 타원 적분을 효율적으로 계산할 수 있다.[4]
M의 존재성 증명
요약
관점
두 수열 (an), (gn)은 항상 같은 값으로 수렴한다. 다음은 이를 증명한 것이다.
산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 n에 대해 다음이 성립한다.
x ≤ y는 증명에 영향을 주지 않는 가정이다. 이 때 다음이 성립한다.
또한 다음과 같이 (an), (gn) 모두가 단조수열임을 보일 수 있다.
모든 부등식을 연립하면 다음을 얻는다.
따라서 (an), (gn) 모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한
의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.
같이 보기
- 멱평균
- 산술-기하 평균 부등식
- 가우스-르장드르 알고리즘
각주
참고 문헌
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