소진법

소진법(method of exhaustion, 라틴어: methodus exhaustionis)은 도형의 넓이를 구하는 방법으로, 도형 안에 다각형 수열을 (하나씩) 내접시켜 그 넓이가 포함된 도형의 넓이로 수렴하도록 하는 방법이다. 만약 이 수열이 올바르게 구성된다면, n번째 다각형과 포함된 도형 사이의 넓이 차이는 n이 커짐에 따라 임의로 작아질 것이다. 이 차이가 임의로 작아짐에 따라, 도형 넓이의 가능한 값들은 수열의 구성원들에 의해 연속적으로 설정되는 하한 넓이들에 의해 체계적으로 "소진"된다.

소진법은 일반적으로 귀류법의 한 형태인 Reductio ad absurdum을 필요로 했다. 이는 먼저 한 영역의 넓이를 두 번째 영역의 넓이와 비교하여 해당 영역의 넓이를 찾아내는 것으로, 두 번째 영역은 "소진"되어 실제 넓이에 임의로 가까워지게 된다. 증명은 실제 넓이가 두 번째 영역보다 크다고 가정하여 그 주장이 틀렸음을 증명하고, 두 번째 영역보다 작다고 가정하여 그 주장 또한 틀렸음을 증명하는 과정을 포함한다.

역사

생뱅상 그레고리

이 아이디어는 기원전 5세기 후반에 안티폰에게서 시작되었지만, 그가 이 아이디어를 얼마나 잘 이해했는지는 완전히 명확하지 않다.^[1] 이 이론은 몇십 년 후 에우독소스에 의해 엄밀해졌고, 그는 이를 사용하여 넓이와 부피를 계산했다. 이후 3세기 AD에 유휘에 의해 중국의 산학에서 다시 발명되어 원의 넓이를 찾는 데 사용되었다.^[2] 이 용어의 첫 사용은 1647년 생뱅상 그레고리의 Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum에서였다.

소진법은 미적분학 방법의 전신으로 여겨진다. 17세기부터 19세기에 걸쳐 해석기하학과 엄밀한 적분학이 발전하면서 소진법은 더 이상 문제를 해결하는 데 명시적으로 사용되지 않게 되었다. 중요한 대안적 접근법은 카발리에리의 원리였으며, 이는 또한 불가분량의 방법이라고 불렸고 결국 로베르발, 에반젤리스타 토리첼리, 존 월리스, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등의 무한소 미적분학으로 발전했다.

에우클레이데스

에우클레이데스는 그의 에우클레이데스의 원론 제12권에서 다음 6가지 명제를 증명하기 위해 소진법을 사용했다.

명제 2: 원의 넓이는 지름의 제곱에 비례한다.^[3]

명제 5: 높이가 같은 두 사면체의 부피는 그 삼각형 밑면의 넓이에 비례한다.^[4]

명제 10: 원뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 해당 원기둥 부피의 3분의 1이다.^[5]

명제 11: 높이가 같은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면의 넓이에 비례한다.^[6]

명제 12: 다른 원뿔 (또는 원기둥)과 닮은 원뿔 (또는 원기둥)의 부피는 밑면 지름의 비율의 세제곱에 비례한다.^[7]

명제 18: 구의 부피는 지름의 세제곱에 비례한다.^[8]

아르키메데스

 이 부분의 본문은 원주율입니다.

아르키메데스는 원 안의 넓이를 계산하기 위해 소진법을 사용했다.

아르키메데스는 소진법을 사용하여 원 안에 변의 수가 증가하고 그에 따라 넓이도 증가하는 다각형 수열을 채워넣음으로써 원 안의 넓이를 계산했다. 이 다각형의 넓이를 원 반지름의 제곱으로 나눈 몫은 다각형 변의 수가 커질수록 π에 임의로 가까워질 수 있으며, 이는 반지름이 r인 원 안의 넓이가 πr²임을 증명한다. 여기서 π는 원주와 지름의 비율(C/d)로 정의된다.

그는 또한 내접 및 외접하는 96변 정다각형의 둘레와 원의 둘레를 비교하여 3 + ¹⁰/₇₁ < π < 3 + ¹⁰/₇₀ (범위 ¹/₄₉₇)의 경계를 제시했다.

그가 소진법으로 얻은 다른 결과는 다음과 같다:^[9]

• 선과 포물선의 교차점에 의해 둘러싸인 넓이는 같은 밑변과 높이를 가진 삼각형 넓이의 4/3배이다 (포물선 구적법).
• 타원의 넓이는 장축과 단축을 변으로 하는 직사각형에 비례한다.
• 구의 부피는 같은 반지름의 밑면과 이 반지름과 같은 높이를 가진 원뿔 부피의 4배이다.
• 지름과 같은 높이를 가진 원기둥의 부피는 같은 지름을 가진 구 부피의 3/2배이다.
• 하나의 아르키메데스 와선 회전과 선에 의해 둘러싸인 넓이는 선분 길이와 같은 반지름을 가진 원 넓이의 1/3배이다.
• 소진법의 사용은 또한 무한 기하급수의 성공적인 평가 (최초로)로 이어졌다.

기타

갈릴레오 갈릴레이는 소진법을 사용하여 절단된 원뿔의 질량 중심을 찾았다.^[10]

현대 미적분학의 발전 직전에 크리스토퍼 렌은 소진법을 사용하여 사이클로이드의 정확한 호의 길이를 발견했다.^[11]

예시 1: 아르키메데스 나선의 넓이는 그를 둘러싼 원의 3분의 1이다

아르키메데스 나선 ${\textstyle r=\theta }$ 한 바퀴의 넓이는 그를 둘러싼 원 넓이의 3분의 1이다.

아르키메데스는 ${\textstyle r=\theta }$로 주어지는 나선 ${\textstyle S}$의 한 바퀴 넓이를 계산하여 ${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$를 찾았는데, 이는 이를 둘러싼 원의 넓이 ${\textstyle a(C)}$의 3분의 1이다.

증명의 개요를 위해, ${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}a(C)}$를 보여주고자 한다고 가정하자. 귀류법으로, ${\textstyle a(S)<{\frac {1}{3}}a(C)}$라고 가정하자. 구간 ${\textstyle [0,2\pi ]}$를 ${\textstyle n}$개의 동일한 조각 ${\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$으로 나누고, 각 하위 구간에 대해 나선을 둘러싸는 가장 작고 가장 큰 원형 부채꼴을 찾는다. 두 번째 이미지를 참조하여 명확히 한다. ${\textstyle P}$를 나선 내부에 있는 부채꼴들의 집합으로, ${\textstyle Q}$를 외부에 있는 부채꼴들의 집합으로 두자. 그러면 ${\textstyle a(P)}$는 나선 넓이의 과소추정치이고, ${\textstyle a(Q)}$는 과대추정치이다. 아르키메데스는 ${\textstyle n}$이 충분히 클 때, 임의의 ${\textstyle 0<\epsilon }$에 대해 ${\textstyle a(Q)-a(P)<\epsilon }$임을 보일 수 있었다.

${\textstyle n=8}$일 때, 이미지는 P (파란색)와 Q (빨간색)를 보여준다. 짙은 회색 영역은 ${\textstyle a(P)}$이고, 짙은 회색과 밝은 회색 영역을 합친 것이 ${\textstyle a(Q)}$를 나타낸다.

이제 ${\textstyle \epsilon$ :={\frac {1}{3}}a(C)-a(S)} 라고 정의하자. 그러면 가정에 의해 ${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)-a(S)>a(Q)-a(P)}$이고, 따라서 나선이 ${\textstyle P}$를 둘러싸므로 ${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)>a(Q)+a(S)-a(P)>a(Q)}$이다. 그러나 ${\textstyle Q}$의 넓이는 명시적으로 계산할 수 있는데, 이는 ${\displaystyle n}$개의 외부 원형 부채꼴 넓이의 합과 같으며, 각각의 넓이는 ${\textstyle {\frac {\theta }{2}}r_{i}^{2},}$ (${\textstyle i\in \{1,\dots ,n\}}$)이다. 즉,

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(Q)&={\frac {\theta }{2}}r_{1}^{2}+{\frac {\theta }{2}}r_{2}^{2}+...+{\frac {\theta }{2}}r_{n}^{2}\\&={\frac {\theta }{2}}\left(\theta ^{2}+(2\theta )^{2}+...+(n\theta )^{2}\right)\\&={\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\end{aligned}}}$$

아르키메데스도 발견했던 제곱의 합 공식을 사용한다.

따라서 부등식으로 돌아가면 다음과 같다.

$${\displaystyle {\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {1}{3}}a(C).}$$

원의 반지름이 ${\textstyle 2\pi }$였으므로, 원의 넓이는 ${\textstyle a(C)=4\pi ^{3}}$이다. 이를 위의 부등식에 ${\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$와 함께 대입하면 다음과 같다.

$${\displaystyle {\frac {8\pi ^{3}}{12n^{3}}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {4}{3}}\pi ^{3}.}$$

이는 다음과 같이 더 줄어든다.

$${\displaystyle \left(n+1\right)\left(2n+1\right)<2n^{2}.}$$

그러나 이는 모든 양의 ${\textstyle n}$에 대해 거짓인데, 왼쪽 항의 첫 번째 항은 ${\textstyle n}$보다 크고 두 번째 항은 ${\textstyle 2n}$보다 크므로 그 곱은 ${\textstyle 2n^{2}}$보다 크기 때문에 모순에 도달했기 때문이다.

${\textstyle a(S)>{\frac {1}{3}}a(C)}$라는 증명은 전적으로 동일하다.틀:Huh? 나선 넓이가 원 넓이의 3분의 1보다 작지도 크지도 않으므로, 아르키메데스는 그 둘이 같다고 결론지었다.^[12]

예시 2: 원들은 지름의 제곱에 비례한다

${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$이라는 이 진술은 에우독소스에게 귀속되지만, 그의 설명은 남아 있지 않다. 이는 에우클레이데스 원론 제12권 명제 2에서 재현된다.

원 ${\textstyle C_{1},C_{2}}$와 내접 다각형 ${\textstyle P_{1},P_{2}}$. ${\textstyle P_{1},P_{2}}$는 변의 수가 같음에 유의하라.

증명의 개요를 위해, 귀류법으로 ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\iff a(C_{1})>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})}$라고 가정하자. ${\textstyle P_{1},P_{2}}$를 각각 ${\textstyle C_{1},C_{2}}$에 내접하는 ${\textstyle n}$변 정다각형이라고 하자. ${\textstyle \epsilon$ :=a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})} 로 정의하자. 그러면 에우클레이데스 원론 제10권 명제 1에 의해, ${\textstyle n>N}$일 때마다 ${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<\epsilon }$이 되는 ${\textstyle N}$을 찾을 수 있다. 따라서 ${\textstyle \epsilon }$의 정의를 사용하여 ${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}),\quad \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<a(P_{1})}$를 얻는다.

그러나 두 정볼록다각형(원이 아닌)에 대해서는 ${\textstyle {\frac {a(P_{1})}{a(P_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$임을 쉽게 보일 수 있다. 단, ${\displaystyle n}$이 고정되어야 한다. 이것을 이전 진술에 대입하면 다음과 같다.

$${\displaystyle \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(P_{2})\implies a(C_{2})<a(P_{2}).}$$

그러나 ${\textstyle P_{2}\subset C_{2}}$이므로 이는 모순이다. 다음 단계는 ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$ 또한 거짓임을 증명하는 것이다. 그러나 ${\textstyle C_{1},C_{2}}$의 표시는 완전히 임의적이었으므로, 재표시함으로써 이 경우도 추가 증명 없이 따른다. 따라서 우리는 ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$임을 알 수 있다.^[13]

분석

리만 합과 소진법을 사용하여 넓이를 계산하는 것은 두 방법 모두 일련의 다각형을 사용하여 해당 넓이를 근사하는 방식으로 시작한다는 점에서 유사하다. 그러나 리만 합에서는 근사 다각형 넓이의 극한을 ${\displaystyle n\to \infty }$로 간주한다. 반대로 소진법에서는 극한을 피하고 대신 이중 귀류법을 사용한다. 따라서 소진법은 무한에 대한 엄밀한 처리가 필요 없이 복잡한 넓이를 계산할 수 있게 한다.

같이 보기

• 기계적 정리의 방법
• 포물선 구적법
• 사다리꼴 공식
• 피타고라스 정리