순환 범주

호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, 영어: cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.

정의

순환 범주

순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category) ${\displaystyle \operatorname {Cyc} }$는 다음과 같은 작은 범주이다.^{[1]:202, Definition 6.1.1}

• ${\displaystyle \operatorname {Cyc} }$의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Cyc} }$의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.

  ${\displaystyle \delta _{n}^{i}\colon n-1\to n\qquad (0\leq i\leq n)}$ (면 사상)

  ${\displaystyle \sigma _{n}^{i}\colon n+1\to n\qquad (0\leq i\leq n)}$ (퇴화 사상)

  ${\displaystyle \tau _{n}\colon n\to n}$ (순환 사상)

• 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, ${\displaystyle \tau }$를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 ${\displaystyle \triangle }$의 정의에 등장하는 것과 같다.)

  ${\displaystyle \delta _{n-1}^{j}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n-1}^{i}\circ \delta _{n}^{j-1}\qquad (0\leq i<j)}$

  ${\displaystyle \sigma _{n+1}^{j}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n+1}^{i}\circ \sigma _{n}^{j+1}\qquad (0\leq i\leq j)}$

  ${\displaystyle \sigma _{n}^{j}\circ \delta _{n+1}^{i}={\begin{cases}\delta _{n}^{i}\circ \sigma _{n-1}^{j-1}&i<j\\\operatorname {id} _{n}&i\in \{j,j+1\}\\\delta _{n}^{i-1}\circ \sigma _{n-1}^{j}&i>j+1\end{cases}}}$

  ${\displaystyle \overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} _{n}}$

  ${\displaystyle \tau _{n}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n}^{i-1}\circ \tau _{n-1}\qquad (1\leq i\leq n)}$

  ${\displaystyle \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n}^{i-1}\circ \tau _{n+1}\qquad (1\leq i\leq n)}$

이제, 임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$로 가는 함자

${\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}$

이다.

순환 대상의 구체적 정의

구체적으로, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 단체 대상 ${\displaystyle (X_{\bullet },\partial _{\bullet }^{i},d_{\bullet }^{i})}$. 여기서 ${\displaystyle \partial _{\bullet }^{i}\colon X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}}$는 면(面)이며, ${\displaystyle s_{\bullet }^{i}\colon X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}}$는 퇴화 단체이다.
• 일련의 동형 사상들 ${\displaystyle t_{n}\colon X_{n}\to X_{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

• (순환의 순환성) ${\displaystyle \overbrace {t_{n}\circ \dotsb \circ t_{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} _{X_{n}}}$. 특히, ${\displaystyle t_{0}=\operatorname {id} _{X_{0}}}$이다.
• (순환과 면의 호환) ${\displaystyle \partial _{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n-1}\circ \partial _{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)}$
• (순환과 퇴화 단체의 호환) ${\displaystyle s_{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n+1}\circ s_{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)}$

일반적 정의

순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.

교차단체군(交叉單體群, 영어: crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 단체 집합 ${\displaystyle G_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$
• 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle G_{n}}$ 위의 군 구조
• 임의의 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle \hom _{\triangle }(m,n)}$ 위의, ${\displaystyle G_{n}}$의 오른쪽 군 작용 ${\displaystyle \hom _{\triangle }(m,n)\times G_{n}\to \hom _{\triangle }(m,n)}$

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.^{[1]:205, Proposition 6.1.6}

• 임의의 ${\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)}$ 및 ${\displaystyle \chi \in \hom _{\triangle }(n,p)}$ 및 ${\displaystyle g\in G_{p}}$에 대하여,

  ${\displaystyle (\chi \circ \phi )\cdot g=(\chi \cdot g)\circ \left(\phi \cdot G(\chi ^{\operatorname {op} })(g)\right)\in \hom _{\triangle }(m,p)}$

• 임의의 ${\displaystyle g,h\in G_{n}}$ 및 ${\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)}$에 대하여,

  ${\displaystyle G(\phi ^{\operatorname {op} })(gh)=G(\phi \cdot h)^{\operatorname {op} }(g)G(\phi ^{\operatorname {op} })(h)\in G_{m}}$

교차단체군의 예는 다음이 있다.

• 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
• 순환군 ${\displaystyle G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)}$
• 정이면체군 ${\displaystyle G_{n}=\operatorname {Dih} (n+1)}$
• 쌍순환군 ${\displaystyle G_{n}=\operatorname {Dic} (n+1)}$
• 대칭군 ${\displaystyle G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)}$

교차단체군 ${\displaystyle G_{\bullet }}$이 주어졌을 때, 임의의 ${\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)}$ 및 ${\displaystyle g\in G_{n}}$에 대하여 편의상

${\displaystyle g\cdot \phi =G(\phi ^{\operatorname {op} })(g)\in G_{m}}$

로 표기하자. 이는

${\displaystyle g\cdot (\phi \circ \chi )=(g\cdot \phi )\cdot \chi }$

를 만족시킨다.

교차단체군 ${\displaystyle G_{\bullet }}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 ${\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}}$를 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}}$의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 ${\displaystyle \triangle }$의 대상과 같다.
• ${\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}}$의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.

  ${\displaystyle \hom _{\triangle _{G_{\bullet }}}(m,n)=\hom _{\triangle }(m,n)\times G}$

• 사상의 합성은 다음과 같다.^{[1]:207, Corollary 6.1.7} 여기서, ${\displaystyle g\in G_{n}}$에 대하여 ${\displaystyle \tau _{g}\colon \hom _{\triangle _{G_{\bullet }}}(n,n)}$은 ${\displaystyle (\operatorname {id} _{n},g)}$에 대응하는 사상이며, ${\displaystyle \phi \in \hom _{\triangle }(m,n)}$이다.

  ${\displaystyle \phi \circ \tau _{g}=(\phi ,g)\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}))}$

  ${\displaystyle \tau _{g}\circ \phi =(\phi \cdot g)\circ \tau _{g\cdot \phi }\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{n}))}$

그렇다면, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 ${\displaystyle G_{\bullet }}$-대상은 함자

${\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}$

이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

${\displaystyle G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)=\langle t_{n}|t_{n}^{n+1}=1\rangle }$

${\displaystyle \delta ^{i}\cdot g={\begin{cases}\delta ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\delta ^{n}&i=0\end{cases}}}$

${\displaystyle \sigma ^{i}\cdot g={\begin{cases}\sigma ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\sigma ^{n}&i=0\end{cases}}}$

${\displaystyle t_{n}\cdot \delta _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n-1}&i\geq 1\\1&i=0\end{cases}}}$

${\displaystyle t_{n}\cdot \sigma _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n+1}&i\geq 1\\t_{n+1}^{2}&i=0\end{cases}}}$

그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 ${\displaystyle G_{\bullet }}$-대상은 순환 대상이라고 한다.

성질

순환 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} }$는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.^{[1]:208, Proposition 6.1.11}

${\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cyc} }$

${\displaystyle n^{\operatorname {op} }\mapsto n}$

${\displaystyle (\delta _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto {\begin{cases}\sigma _{n-1}^{i}&i<n\\\sigma _{n-1}^{0}\circ \tau _{n}^{-1}&i=n\end{cases}}}$

${\displaystyle (\sigma _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto \delta _{n+1}^{i+1}}$

사상

순환 범주 ${\displaystyle \triangle _{\operatorname {Cyc} }}$에서, 모든 사상 ${\displaystyle f\colon m\to n}$는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.^{[1]:203, Theorem 6.1.3(2)}

${\displaystyle f'\circ \overbrace {t_{m}\circ \dotsb \circ t_{m}} ^{k}\qquad (f'\in \hom _{\triangle }(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc ,n\})}$

보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 ${\displaystyle G_{\bullet }}$에 대하여, 범주 ${\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}}$에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

${\displaystyle \phi \circ \tau _{g}\colon \phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}}$

순환 범주 ${\displaystyle \triangle _{\operatorname {Cyc} }}$에서, 다음이 성립한다.^{[1]:202, Definition 6.1.1}

• ${\displaystyle \tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}=\delta _{n}^{n}}$

증명:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}&=\tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \delta _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n-1}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \delta _{n}^{2}\circ \overbrace {\tau _{n-1}\circ \dotsb \circ \tau _{n-1}} ^{n-2}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}\circ \delta _{n}^{n}\\&=\delta _{n}\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}=\sigma _{n}^{n}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}}$

증명:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}&=\tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n+2}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n+1}\\&=\tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \overbrace {\tau _{n+1}\circ \dotsb \circ \tau _{n+1}} ^{n}\\&\qquad \vdots \\&=\overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}\circ \sigma _{n}^{1}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}\\&=\sigma _{n}^{1}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}\end{aligned}}}$

단체와의 관계

단체 범주 ${\displaystyle \triangle }$에서 순환 범주로 가는 포함 함자

${\displaystyle \triangle \hookrightarrow \triangle _{\operatorname {Cyc} }}$

가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, ${\displaystyle \triangle _{\operatorname {Cyc} }}$에는 ${\displaystyle t_{n}}$으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-순환 대상의 범주에서 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자

${\displaystyle \hom(\operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})\to \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})}$

가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.

예

모든 성분이 자명군인 교차단체군 ${\displaystyle 1}$을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 ${\displaystyle \triangle _{1}}$은 단체 범주 ${\displaystyle \triangle }$와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군

${\displaystyle G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)}$

을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 ${\displaystyle \triangle _{\operatorname {Sym} }}$는 유한 집합과 함수의 작은 범주 ${\displaystyle \operatorname {finSet} }$와 동치이다.

결합 대수의 순환 가군

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 결합 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle C\colon n\mapsto A^{\otimes _{K}(n+1)}}$

${\displaystyle C({\delta _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n-1}}$

${\displaystyle C({\delta _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto {\begin{cases}a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+2}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}&0\leq i<n\\a_{n}a_{0}\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}&i=n\end{cases}}}$^{[1]:45, (1.6.1.2)}

${\displaystyle C({\sigma _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n+1}}$

${\displaystyle C({\sigma _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}a_{n}}$^{[1]:45, (1.6.1.2)}

${\displaystyle C(\tau _{n}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n}}$

${\displaystyle C(\tau _{n}^{\operatorname {op} })\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto (-)^{n}a_{n}\otimes _{K}a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}}$^{[1]:53, §2.1.0}

즉, 이는 ${\displaystyle K}$-가군 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}$ 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 ${\displaystyle A}$에 대응되는 순환 가군(영어: cyclic module associated to ${\displaystyle A}$)이라고 한다.

이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.

역사

알랭 콘이 1983년에 도입하였다.^[2]:§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “${\displaystyle \Lambda }$”라고 표기하였다.^{[2]:§2[1]:201, Chapter 6}

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(폴란드어: Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.^[3]

같이 보기

• 순환 호몰로지
• 단체 범주