호흐실트 호몰로지

추상대수학에서 호흐실트 호몰로지(영어: Hochschild homology)와 호흐실트 코호몰로지(영어: Hochschild cohomology)는 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의되는 호몰로지 · 코호몰로지 이론이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$-결합 대수 ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle (A,K,A)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{A}M_{A}}$. 즉, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle (A,A)}$-쌍가군이며, 또한 ${\displaystyle M}$ 위의 왼쪽 ${\displaystyle K}$-작용이 오른쪽 ${\displaystyle K}$-작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 호흐실트 (코)호몰로지는 Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
• 호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(영어: Hochschild (co)chain complex)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
• 호흐실트 (코)호몰로지는 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.

흔히, ${\displaystyle _{A}M_{A}={}_{A}A_{A}}$인 특수한 경우가 자주 사용된다.

추상적 정의

${\displaystyle A}$의 포락 대수(包絡代數, 영어: enveloping algebra)

${\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }}$

를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle K}$-결합 대수이며, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle A^{\operatorname {e} }}$-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, ${\displaystyle A}$도 ${\displaystyle A^{\operatorname {e} }}$의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,

${\displaystyle (a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad \forall a,b\in A,m\in M}$

${\displaystyle (a\otimes _{K}b^{\operatorname {op} })\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad \forall a,b,c\in A}$

이다.

${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle M}$계수의 호흐실트 호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A;M)}$ 및 호흐실트 코호몰로지 군 ${\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)}$은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A;M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{\operatorname {e} }}(A,M)}$

${\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)=\operatorname {Ext} _{A^{\operatorname {e} }}^{n}(A,M)}$

구체적 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$-가군 범주의 단체 대상 ${\displaystyle (X_{\bullet },\partial _{\bullet ,i},s_{\bullet ,i})}$

그렇다면,

${\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}(-)^{i}\partial _{n,i}}$

를 정의하면,

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$

이 되어, 사슬 복합체

${\displaystyle \dotsb {\xleftarrow {\partial }}X_{2}{\xleftarrow {\partial }}X_{1}{\xleftarrow {\partial }}X_{0}\to 0}$

를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 호몰로지를 단체 가군 ${\displaystyle X_{\bullet }}$의 호흐실트 호몰로지라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 쌍대 가군들로 구성된 공사슬 복합체

${\displaystyle X^{n}=\hom _{K}(X_{n},K)}$

${\displaystyle 0\to X^{1}\to X^{2}\to \dotsb }$

의 코호몰로지를 단체 가군 ${\displaystyle X_{\bullet }}$의 호흐실트 코호몰로지라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 ${\displaystyle s_{\bullet ,i}}$이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이 ${\displaystyle K}$ 위의 결합 대수 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle (A,K,A)}$-쌍가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(영어: Hochschild simplicial module) ${\displaystyle C_{\bullet }(A;M)}$을 정의할 수 있다.^{[1]:45, (1.6.1.2)}

${\displaystyle C_{n}(A;M)=M\otimes _{K}A^{\otimes _{K}n}}$

${\displaystyle \partial _{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n+1}(A;M)}$

${\displaystyle \partial _{n,i}\colon m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto {\begin{cases}(ma_{1})\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}&i=0\\m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i-1}\otimes _{K}a_{i}a_{i+1}\otimes _{K}a_{i+2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}a_{n}&0<i<n\\a_{n}m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n-1}&i=n\end{cases}}}$

${\displaystyle s_{n,i}\colon C_{n}(A;M)\to C_{n-1}(A;M)}$

${\displaystyle s_{n,i}\colon a_{0}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{n}\mapsto m\otimes _{K}a_{1}\otimes _{K}\dotsb \otimes _{K}a_{i}\otimes _{K}1\otimes _{K}a_{i+1}\otimes _{K}a_{n}}$

결합 대수 ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle M}$계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

${\displaystyle C_{\bullet }(A;M)}$은 사슬 복합체로서

${\displaystyle M\otimes _{A^{\operatorname {e} }}\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A)}$

의 꼴이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A)}$는 ${\displaystyle A}$의 막대 복합체이다. 이제, 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체

${\displaystyle C^{\bullet }(A;M)=\hom _{A^{\operatorname {e} }}(\operatorname {Bar} _{\bullet }(A,A,A),M)}$

를 정의할 수 있으며, ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle M^{\vee }}$계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

위상수학적 정의

${\displaystyle A}$ 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 가군 범주 속의 단체 대상에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}$ 속의 단체 대상 ${\displaystyle X\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} _{K}}$. 여기서 ${\displaystyle \triangle }$은 단체 범주이다.

그렇다면, 단체 가군의 범주 ${\displaystyle \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}$은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, ${\displaystyle X}$의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.^[1]:§6.2

${\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(X)=\operatorname {Tor} _{n}^{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}(K_{\bullet },X)}$

${\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(X)=\operatorname {Ext} _{\hom(\triangle ^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}^{n}(X,K_{\bullet })}$

여기서 ${\displaystyle K_{\bullet }}$는 모든 성분이 1차원 자유 가군 ${\displaystyle K}$이며, ${\displaystyle s_{n}^{i}}$ 및 ${\displaystyle d_{n}^{i}}$ 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

(사실, 만약 ${\displaystyle A=M}$이라면, 호흐실트 단체 가군 ${\displaystyle C_{n}(A;A)}$는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 ${\displaystyle \hom(\triangle _{\operatorname {Cyc} }^{\operatorname {op} },\operatorname {Mod} _{K})}$에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.^{[1]:213, Theorem 6.2.8[1]:214, Theorem 6.2.9})

성질

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 결합 대수 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle (A,K,A)}$-쌍가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 호흐실트 호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)}$ 및 호흐실트 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A;M)}$는 ${\displaystyle K}$-가군이며, 사실 ${\displaystyle \operatorname {Z} (A)}$-가군을 이룬다.^{[1]:10, §1.1.5}

함자성

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Alg} _{K}}$와, ${\displaystyle K}$-결합 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌을 때 ${\displaystyle (A,K,A)}$-쌍가군의 범주 ${\displaystyle _{A}\operatorname {Mod} _{A}}$를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.^{[1]:10, §1.1.4}

${\displaystyle \operatorname {HH} _{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}}$

${\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}\colon {}_{A}\operatorname {Mod} _{A}\to \operatorname {Mod} _{\operatorname {Z} (A)}}$

또한, 임의의 ${\displaystyle K}$-결합 대수 준동형

${\displaystyle \phi \colon B\to A}$

및 ${\displaystyle (A,K,A)}$-쌍가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, ${\displaystyle \phi ^{*}M}$은 ${\displaystyle (B,K,B)}$-쌍가군을 이루며, 이는 호흐실트 호몰로지의 사상^{[1]:10, §1.1.4}

${\displaystyle \phi _{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(B;\phi ^{*}M)\to \operatorname {HH} _{n}(A;M)}$

및 호흐실트 코호몰로지의 사상^{[1]:38, §1.5.1}

${\displaystyle \phi ^{*}\colon \operatorname {HH} ^{\bullet }(A;M)\to \operatorname {HH} ^{n}(B;\phi ^{*}M)}$

을 유도한다.

특히, 만약 ${\displaystyle M=A}$일 때, 이는 ${\displaystyle K}$-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 ${\displaystyle K}$-가군의 범주로 가는 함자

${\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}\to \operatorname {Mod} _{K}}$

${\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(-)\colon \operatorname {Alg} _{K}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Mod} _{K}}$

를 정의한다.

예

0차 호흐실트 (코)호몰로지

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 결합 대수 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle (A,K,A)}$-쌍가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

${\displaystyle C_{0}(A;M)=M}$

${\displaystyle C_{1}(A;M)=M\otimes _{K}A}$

${\displaystyle \partial _{1}=\partial _{1,0}-\partial _{1,1}}$

${\displaystyle \partial _{1,0}\colon m\otimes _{K}a\mapsto ma}$

${\displaystyle \partial _{1,1}\colon m\otimes _{K}a\mapsto am}$

이에 따라,

${\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A;M)={\frac {M}{[M,A]}}}$

이다.^{[1]:10, §1.1.6}

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.

${\displaystyle C^{0}(A;M)=M}$

${\displaystyle C^{1}(A;M)=M\otimes A^{\vee }}$

${\displaystyle \mathrm {d} ^{0}\colon C^{0}(A;M)\to C^{1}(A;M)}$

${\displaystyle \mathrm {d} ^{0}(m)(a)=ma-am}$

이에 따라,

${\displaystyle \operatorname {HH} ^{0}(A;M)=\{m\in M\colon am=ma\qquad \forall a\in A\}}$

는 환의 중심의 개념의 일반화이다.^{[1]:38, §1.5.2}

1차 호흐실트 코호몰로지

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 결합 대수 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle (A,K,A)}$-쌍가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.^{[1]:38, §1.5.2} 1차 호흐실트 공순환은 ${\displaystyle K}$-가군 준동형

${\displaystyle \delta \colon A\to M}$

가운데

${\displaystyle \delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b}$

와 같은 곱 규칙을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 미분(영어: derivation)이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는

${\displaystyle [m,-]\colon A\to M\qquad (m\in M)}$

와 같은 꼴의 ${\displaystyle K}$-가군 준동형이다. 즉, 이러한 것들을 내부 미분(영어: inner derivation)이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 외부 미분(영어: outer derivation)의 공간으로 여겨질 수 있다.

가환 대수

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가환 결합 대수 ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle A}$-가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.^{[2]:307, Proposition 9.2.2[1]:11, Proposition 1.1.10}

${\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A;M)\cong M}$

${\displaystyle \operatorname {HH} _{1}(A;M)\cong M\otimes _{A}\Omega _{A/K}}$

여기서 ${\displaystyle \Omega _{A/K}}$는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

다항식환

복소수 계수 다항식환 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\vec {x}}]}$ (${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{k}}$)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}];\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Lambda ^{n}(\mathbb {C} ^{k})}$

여기서 ${\displaystyle \Lambda ^{n}(-)}$는 외대수이다. 구체적으로, ${\displaystyle n}$차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle C_{n}(\mathbb {C} [{\vec {x}}])=\mathbb {C} [{\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n}]}$

호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

${\displaystyle p({\vec {x}}_{0},\dotsc ,{\vec {x}}_{n})\mapsto \sum _{i_{1}=1}^{k}\sum _{i_{2}=1}^{k}\dotsi \sum _{i_{n}=1}^{k}\left.{\frac {\partial }{\partial (x_{1})^{i_{1}}}}{\frac {\partial }{\partial (x_{2})^{i_{2}}}}\dotsm {\frac {\partial }{\partial (x_{n})^{i_{n}}}}p\right|_{{\vec {x}}_{0}={\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}=\dotsb ={\vec {x}}_{n}={\vec {x}}}\mathrm {d} (x_{1})^{i_{1}}\wedge \mathrm {d} (x_{2})^{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} (x_{n})^{i_{n}}}$

역사

게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다.^[3] 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.^[4]

같이 보기

• 순환 호몰로지