스튜던트 t 분포

스튜던트 t 분포(Student t分布, 영어: Student’s t-distribution)는 정규 분포의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다.

스튜던트 t 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	${\displaystyle \nu >0}$ 자유도(실수값)
지지집합	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )\!}
확률 밀도	${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}\!}$
누적 분포	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}$, 여기에서 ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$은 초기하함수
기댓값	${\displaystyle \nu >1}$일 때 0, 나머지는 정의되지 않음
중앙값	0
최빈값	0
분산	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$(${\displaystyle \nu >2}$), ${\displaystyle \infty }$(${\displaystyle 1<\nu \leq 2}$), 나머지는 정의되지 않음
비대칭도	${\displaystyle \nu >3}$일 때 0
적률생성함수	정의되지 않음
특성함수	${\displaystyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|)({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}},\;\nu >0}$, ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$는 베셀 함수

정의

스튜던트 t 분포는 다음 확률변수의 분포로 정의된다.

${\displaystyle {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}}$

여기에서 ${\displaystyle Z}$는 표준정규분포, ${\displaystyle V}$는 자유도 ${\displaystyle \nu }$인 카이제곱 분포이다.

t 분포는 종모양으로서 t=0에서 좌우대칭을 이룬다. t 분포의 모양을 결정하는 것은 자유도이며, 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가깝게 된다.^[1]:194

정규분포에서의 추정

어떤 정규분포의 평균이 ${\displaystyle \mu }$이고 분산이 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$

${\displaystyle S^{\;2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}$

이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 불편추정값이다. 이때,

${\displaystyle V=(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

은 자유도가 ${\displaystyle n-1}$인 카이제곱 분포가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한

${\displaystyle Z=\left({\overline {X}}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}}$

는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, ${\displaystyle V,Z}$는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다.

이때 ${\displaystyle Z}$에서 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 대신 ${\displaystyle S^{\;2}}$로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다.

${\displaystyle T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{S}}}$

이때 ${\displaystyle T}$에는 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 ${\displaystyle \mu }$를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 ${\displaystyle T}$의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.

구간 추정

자유도 n-1인 t 분포 ${\displaystyle T}$에 대해,

${\displaystyle \Pr(-A<T<A)=0.9}$

을 만족하는 실수 ${\displaystyle A}$는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,

${\displaystyle \Pr(-A<T<A)=\Pr \left(-A<{{\overline {X}}-\mu \over S/{\sqrt {n}}}<A\right)=\Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{S \over {\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}+A{S \over {\sqrt {n}}}\right)=0.9}$

이므로, 정규분포의 평균은 90%의 신뢰도로 ${\displaystyle {\overline {X}}\pm A{\frac {S}{\sqrt {n}}}}$ 신뢰구간에 속하게 된다.

역사

프리드리히 로베르트 헬메르트(독일어: Friedrich Robert Helmert)가 1875년에 도입하였다.^[2][3][4][5] 이듬해 야코프 뤼로트(독일어: Jacob Lüroth)도 같은 분포를 재발견하였다.^[6][7] 그러나 헬메르트와 뤼로트의 논문은 영문 학계에 널리 알려지지 않았다.

1908년에 윌리엄 고셋이 "스튜던트"(영어: Student, ‘학생’)라는 필명으로 1908년 재발견하였다.^[8] 고셋은 기네스 양조 공장에서 일했고, 맥주에 사용되는 보리의 질을 시험하기 위해 이 분포를 도입하였고, 경쟁사들에게 기네스의 획기적인 통계 기법을 숨기기 위해 필명을 사용하였다고 한다.^[9]:326 이후 저명한 통계학자인 로널드 피셔는 이 분포를 "스튜던트 분포"라고 불렀고, t라는 기호를 사용하였다.^[10] 피셔 이후 이 분포는 고셋의 필명을 따 "스튜던트 t 분포"로 알려지게 되었다.