스트레치 지수 함수

스트레치 지수 함수(영어: Stretched exponential function)$${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}}$$는 지수 함수에 멱법칙을 삽입하여 얻어진다. 대부분의 응용 분야에서 이 함수는 0과 +∞ 사이의 인수 t에 대해서만 의미가 있다. β = 1일 때, 일반적인 지수 함수가 복원된다. 0과 1 사이의 스트레치 지수(β)를 사용할 때, 로그 f 대 t의 그래프는 특징적으로 늘어나므로 이 함수의 이름이 붙었다. 압축 지수 함수(영어: compressed exponential function)(압축 지수 β > 1)는 실용적인 중요성이 덜하지만, 정규 분포를 나타내는 β = 2의 경우와 비정질 고체 역학에서 압축 지수 완화의 경우는 예외이다.^[1]

그림 1. 베타(β) 값에 따른 f_β(t) = e^−tβ의 플롯으로, 스트레치 지수(β < 1)는 붉은색 계열로, 압축 지수(β > 1)는 녹색 및 파란색 계열로, 표준 지수 함수는 노란색으로 표시되어 있다. 퇴화된 경우인 β → 0 및 β → +∞는 점선으로 표시되어 있다.

수학에서 스트레치 지수는 여누적 베이불 분포로도 알려져 있다. 스트레치 지수는 또한 특성함수, 기본적으로 푸리에 변환이며, 레비 대칭 알파-안정 분포의 특성함수이다.

물리학에서 스트레치 지수 함수는 종종 무질서계의 완화에 대한 현상학적 설명으로 사용된다. 이 함수는 1854년 루돌프 콜라우슈에 의해 축전기의 방전을 설명하기 위해 처음 도입되었다.^[2] 따라서 이 함수는 콜라우슈 함수(영어: Kohlrausch function)라고도 알려져 있다. 1970년에 G. 윌리엄스와 D.C. 왓츠는 스트레치 지수의 푸리에 변환을 사용하여 고분자의 유전체 스펙트럼을 설명하였다.^[3] 이 맥락에서 스트레치 지수 또는 그 푸리에 변환은 콜라우슈-윌리엄스-왓츠 함수(영어: Kohlrausch–Williams–Watts function, KWW)라고도 불린다. 콜라우슈-윌리엄스-왓츠(KWW) 함수는 작은 시간 인수에 대해 콜-콜 방정식, 콜-데이비슨 방정식, 하브릴리악-네가미 완화와 같은 주요 유전체 모델의 시간 영역 전하 응답에 해당한다.^[4]

현상학적 응용에서 스트레치 지수 함수가 미분 분포 함수 또는 적분 분포 함수, 또는 둘 다 아닌 경우에 사용되어야 하는지는 종종 명확하지 않다. 각 경우에서 동일한 점근적 감쇠가 나타나지만, 다른 멱법칙 전인자가 생겨 단순 지수보다 적합이 더 모호해진다. 몇몇 경우에^[5][6][7][8] 점근적 감쇠는 스트레치 지수이지만, 전인자는 일반적으로 관련 없는 멱법칙임을 보일 수 있다.

수학적 특성

모멘트

일반적인 물리적 해석에 따라 함수 인수 t를 시간으로 해석하고 f_β(t)를 미분 분포로 해석한다. 곡선 아래 영역은 평균 완화 시간으로 해석될 수 있다. $${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}}$$ 여기서 Γ는 감마 함수이다. 지수적 감쇠의 경우, ⟨τ⟩ = τ_K가 복원된다.

스트레치 지수 함수의 고차 모멘트는 다음과 같다.^[9] $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}$$

분포 함수

물리학에서는 스트레치 지수 거동을 단순 지수 감쇠의 선형 중첩으로 설명하려는 시도가 있었다. 이를 위해서는 다음과 같이 암시적으로 정의되는 비자명한 완화 시간 분포 ρ(u)가 필요하다. $${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$$

다른 방법으로는 분포 $${\displaystyle G=u\rho (u)}$$가 사용된다.

ρ는 다음의 급수 전개로부터 계산할 수 있다.^[10] $${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$$

β의 유리수 값에 대해 ρ(u)는 기본 함수를 사용하여 계산할 수 있다. 그러나 이 표현은 일반적으로 β = 1/2의 경우를 제외하고는 유용하기에는 너무 복잡하다. $${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}$$

그림 2는 선형과 로그 표현으로 모두 플롯된 동일한 결과를 보여준다. 곡선은 β가 1에 가까워질수록 u = 1에서 정점에 달하는 디랙 델타 함수로 수렴하며, 이는 단순 지수 함수에 해당한다.

그림 2. 스트레치 매개변수 β가 0.1에서 0.9 사이의 값일 때, 스트레치 지수 분포 함수 ${\displaystyle G}$ 대 ${\displaystyle t/\tau }$의 선형 및 로그-로그 플롯.

원래 함수의 모멘트는 다음과 같이 표현할 수 있다. $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau ).}$$

단순 지수 완화 시간 분포의 첫 번째 로그 모멘트는 다음과 같다. $${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right){\rm {Eu}}+\ln \tau _{K}}$$ 여기서 Eu는 오일러 상수이다.^[11]

푸리에 변환

분광학 또는 비탄성 산란의 결과를 설명하기 위해서는 스트레치 지수의 사인 또는 코사인 푸리에 변환이 필요하다. 이는 수치 적분 또는 급수 전개로부터 계산해야 한다.^[12] 여기의 급수와 분포 함수의 급수는 폭스-라이트 함수의 특수한 경우이다.^[13] 실용적인 목적을 위해 푸리에 변환은 하브릴리악-네가미 함수로 근사될 수 있지만,^[14] 오늘날에는 수치 계산이 매우 효율적으로 이루어질 수 있으므로^[15] 주파수 영역에서 콜라우슈-윌리엄스-왓츠 함수를 사용하지 않을 이유가 더 이상 없다.

역사 및 추가 응용

그림 3. 경험적 마스터 곡선에 대한 스트레치 지수 적합(β=0.52)의 그림. 비교를 위해 최소 제곱 단일 및 이중 지수 함수 적합도 함께 표시되어 있다. 데이터는 여러 분자량의 폴리아이소부틸렌에 있는 안트라센의 회전 비등방성이다.^[16] 플롯은 각 시간 상수로 시간을 나누어 중첩되도록 만들어졌다.

서론에서 언급했듯이 스트레치 지수는 독일의 물리학자 루돌프 콜라우슈가 1854년에 유리 매질을 유전체로 사용하는 축전기(라이덴병)의 방전을 설명하기 위해 도입했다. 그 다음으로 기록된 사용은 루돌프의 아들인 프리드리히 콜라우슈가 비틀림 완화를 설명하기 위해 사용한 것이다. A. 베르너는 1907년에 복잡한 발광 감쇠를 설명하기 위해 사용했으며, 테오도르 퍼스터는 1949년에 전자 에너지 공여체의 형광 감쇠 법칙으로 사용했다.

응집물질물리학 외에도 스트레치 지수는 태양계 내 작은 부유체의 제거율,^[17] 뇌의 확산 가중 MRI 신호,^[18] 및 비전통적인 가스정 생산량을 설명하는 데 사용되었다.^[19]

확률론에서

통합 분포가 스트레치 지수이면 정규화된 확률 밀도 함수는 다음과 같이 주어진다. $${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$$

일부 저자가 "스트레치 지수"라는 이름을 베이불 분포를 지칭하는 데 사용했다는 점은 혼란스러울 수 있다.^[20]

수정된 함수

느리게 t에 의존하는 지수 β를 갖는 수정된 스트레치 지수 함수 $${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$$ 는 생물학적 생존 곡선에 사용되었다.^[21][22]

무선 통신

무선 통신에서 스트레치 지수 함수의 스케일된 버전은 송신기 위치가 수신기 주위에 배제 영역이 없는 2D 푸아송 점 과정으로 모델링될 때 간섭 전력 ${\displaystyle I}$에 대한 라플라스 변환에 나타나는 것으로 나타났다.^[23]

라플라스 변환은 임의의 페이딩 분포에 대해 다음과 같이 작성할 수 있다. $${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$$ 여기서 ${\displaystyle g}$는 페이딩의 전력이고, ${\displaystyle \eta }$는 경로 손실 지수이며, ${\displaystyle \lambda }$는 2D 푸아송 점 과정의 밀도이고, ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$는 감마 함수이며, ${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$는 변수 ${\displaystyle x}$의 기댓값이다.

동일한 참조는 또한 스트레치 지수 ${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$에 대한 역 라플라스 변환을 낮은 차수 정수 ${\displaystyle \beta _{a}}$ 및 ${\displaystyle \beta _{b}}$로부터 높은 차수 정수 ${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$에 대해 얻는 방법을 보여준다.

인터넷 스트리밍

스트레치 지수는 유튜브 및 기타 안정적인 스트리밍 미디어 사이트와 같은 인터넷 미디어 접속 패턴을 특성화하는 데 사용되었다.^[24] 일반적으로 합의된 웹 워크로드의 멱법칙 접속 패턴은 주로 매일 업데이트되는 뉴스 사이트와 같은 텍스트 기반 콘텐츠 웹 워크로드를 반영한다.^[25]