실질 조건문

실질 조건문(material conditional) 또는 실질적 함의(material implication)는 논리학에서 흔히 사용되는 이항 연산이다. 조건 기호 ${\displaystyle \to }$가 실질적 함의로 해석될 때, ${\displaystyle P\to Q}$라는 공식은 ${\displaystyle P}$가 참이고 ${\displaystyle Q}$가 거짓인 경우를 제외하고는 참이다.

실질적 함의는 고전 논리의 모든 기본 시스템과 일부 비고전 논리에서 사용된다. 이는 수학 내에서 정확한 조건부 추론의 모델로 가정되며, 많은 프로그래밍 언어의 명령문에서 기본 역할을 한다. 그러나 많은 논리에서는 실질적 함의를 엄격한 조건문 및 가변적 엄격 조건문과 같은 다른 연산자로 대체한다. 실질적 함의의 역설 및 관련 문제로 인해, 실질적 함의는 일반적으로 자연어에서의 조건문에 대한 타당한 분석으로 간주되지 않는다.

표기법

논리학 및 관련 분야에서 실질 조건문은 일반적으로 중위 연산자 ${\displaystyle \to }$로 표기된다.^[1] 실질 조건문은 또한 중위 ${\displaystyle \supset }$ 및 ${\displaystyle \Rightarrow }$를 사용하여 표기된다.^[2] 접두사 폴란드 표기법에서는 조건문이 ${\displaystyle Cpq}$로 표기된다. 조건문 공식 ${\displaystyle p\to q}$에서 하위 공식 ${\displaystyle p}$는 전건이라고 불리고 ${\displaystyle q}$는 조건문의 후건이라고 불린다. 조건문은 ${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$ 공식에서처럼 전건이나 후건 자체가 조건문일 수 있도록 중첩될 수 있다.

역사

Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889)에서 페아노는 "만약 ${\displaystyle A}$이면, ${\displaystyle B}$이다"라는 명제를 C의 반대 기호인 Ɔ로 ${\displaystyle A}$ Ɔ ${\displaystyle B}$로 표현했다.^[3] 그는 또한 ${\displaystyle A\supset B}$라는 명제를 ${\displaystyle A}$ Ɔ ${\displaystyle B}$로 표현했다.^[4][5] 힐베르트는 1918년에 "만약 A이면, B이다"라는 명제를 ${\displaystyle A\to B}$로 표현했다.^[1] 러셀은 그의 수학 원리 (1910–1913)에서 페아노를 따라 "만약 A이면, B이다"라는 명제를 ${\displaystyle A\supset B}$로 표현했다. 러셀을 따라 겐첸은 "만약 A이면, B이다"라는 명제를 ${\displaystyle A\supset B}$로 표현했다. 헤이팅은 처음에 "만약 A이면, B이다"라는 명제를 ${\displaystyle A\supset B}$로 표현했지만, 나중에는 오른쪽을 가리키는 화살표인 ${\displaystyle A\to B}$로 표현하게 되었다. 부르바키는 1954년에 "만약 A이면, B이다"라는 명제를 ${\displaystyle A\Rightarrow B}$로 표현했다.^[6][7]

의미론

진리표

고전 논리의 의미론적 관점에서 실질적 함의는 첫 번째 인수가 참이고 두 번째 인수가 거짓인 경우를 제외하고는 "참"을 반환하는 이항 진리 함수 연산자이다. 이 의미론은 다음 진리표에 그래픽으로 표시될 수 있다.

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\to B}$
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

동치 ${\displaystyle A\to B\equiv \neg (A\land \neg B)\equiv \neg A\lor B}$를 고려할 수도 있다.

전건 ${\displaystyle A}$가 거짓인 조건문 ${\displaystyle (A\to B)}$은 "공허한 참"이라고 불린다. 예시는 다음과 같다...

• ... ${\displaystyle B}$가 거짓인 경우: "마리 퀴리가 갈릴레오 갈릴레이의 여동생이라면, 갈릴레오 갈릴레이는 마리 퀴리의 오빠이다."
• ... ${\displaystyle B}$가 참인 경우: "마리 퀴리가 갈릴레오 갈릴레이의 여동생이라면, 마리 퀴리는 형제자매가 있다."

분석적 타블로

 분석적 타블로 방법 문서에 이 부분의 추가 정보가 있습니다.

연결사 집합 ${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$^[8]에 대한 공식은 f-함의적이라고 불린다.^[9] 고전 논리에서 ${\displaystyle \neg }$ (부정), ${\displaystyle \land }$ (논리곱), ${\displaystyle \lor }$ (논리합) 및 ${\displaystyle \leftrightarrow }$ (동치)와 같은 다른 연결사는 ${\displaystyle \to }$와 ${\displaystyle \bot }$ (거짓)으로 정의될 수 있다.^[10] $${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad A\to \bot \\A\land B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad (A\to (B\to \bot ))\to \bot \\A\lor B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad (A\to \bot )\to B\\A\leftrightarrow B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad \{(A\to B)\to [(B\to A)\to \bot ]\}\to \bot \\\end{aligned}}}$$

f-함의 공식의 타당성은 분석적 타블로 방법에 의해 의미론적으로 확립될 수 있다. 논리 규칙은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\mathsf {T}}}(A\to B)}{{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(A)\quad \mid \quad {\boldsymbol {\mathsf {T}}}(B)}}}$	${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(A\to B)}{\begin{array}{c}{\boldsymbol {\mathsf {T}}}(A)\\{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(B)\end{array}}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {T}}}(\bot )}$ : 분기 닫기 (모순) ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {F}}}(\bot )}$ : 아무것도 하지 않기 (모순이 없음을 주장할 뿐이므로)

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         F[p → ((p → ⊥) → ⊥)]
          |
         T[p]
         F[(p → ⊥) → ⊥]
          |
         T[p → ⊥]
         F[⊥]
 ┌────────┴────────┐
F[p]              T[⊥]
 |                 |
CONTRADICTION     CONTRADICTION
(T[p], F[p])      (⊥ is true)

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         F[((p → ⊥) → ⊥) → p]
          |
         T[(p → ⊥) → ⊥]
         F[p]
 ┌────────┴────────┐
F[p → ⊥]          T[⊥]
 |                 |
T[p]            CONTRADICTION (⊥ is true)
F[⊥]
 |
CONTRADICTION (T[p], F[p])

힐베르트식 증명은 여기 또는 여기에서 찾을 수 있다.

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 1. F[(p → q) → ((q → r) → (p → r))]
              |                       // from 1
          2. T[p → q]
          3. F[(q → r) → (p → r)]
              |                       // from 3
          4. T[q → r]
          5. F[p → r]
              |                       // from 5
          6. T[p]
          7. F[r]
     ┌────────┴────────┐              // from 2
8a. F[p]          8b. T[q]
     X        ┌────────┴────────┐     // from 4
         9a. F[q]          9b. T[r]
              X                 X

힐베르트식 증명은 여기에서 찾을 수 있다.

구문론적 속성

 자연 연역 문서에 이 부분의 추가 정보가 있습니다.

진리표에 의한 의미론적 정의는 다양한 논리 시스템에서 구조적으로 동일한 명제 형태를 조사하는 것을 허용하지 않으며, 여기서 다른 속성이 입증될 수 있다. 여기서 고려되는 언어는 f-함의 공식에 한정된다.

다음 (후보) 자연 연역 규칙을 고려해보자.

함의 도입 (${\displaystyle \to }$I) ${\displaystyle A}$를 가정하여 ${\displaystyle B}$를 도출할 수 있다면, ${\displaystyle A\to B}$를 결론내릴 수 있다. ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}[A]\\\vdots \\B\end{array}}{A\to B}}}$ (${\displaystyle \to }$I) ${\displaystyle [A]}$는 규칙을 적용할 때 해제되는 가정이다.	함의 제거 (${\displaystyle \to }$E) 이 규칙은 전건 긍정에 해당한다. ${\displaystyle {\frac {A\to B\quad A}{B}}}$ (${\displaystyle \to }$E) ${\displaystyle {\frac {A\quad A\to B}{B}}}$ (${\displaystyle \to }$E)
이중 부정 제거 (${\displaystyle \neg \neg }$E) ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}(A\to \bot )\to \bot \\\end{array}}{A}}}$ (${\displaystyle \neg \neg }$E)	거짓 제거 (${\displaystyle \bot }$E) 거짓 (${\displaystyle \bot }$)으로부터 어떤 공식도 도출할 수 있다. (ex falso quodlibet) ${\displaystyle {\frac {\bot }{A}}}$ (${\displaystyle \bot }$E)

• 최소 논리: 자연 연역 규칙을 함의 도입 (${\displaystyle \to }$I)과 함의 제거 (${\displaystyle \to }$E)로 제한함으로써 (함의 단편의)^[10] 최소 논리 (요한손이 정의한 대로)를 얻는다.^[11]

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1.	[ P ]	// 가정
2.	[ P → ⊥ ]	// 가정
3.	⊥	// ${\displaystyle \to }$E (1, 2)
4.	(P → ⊥) → ⊥)	// ${\displaystyle \to }$I (2, 3), 2 해제
5.	P → ((P → ⊥) → ⊥)	// ${\displaystyle \to }$I (1, 4), 1 해제

• 직관 논리: 거짓 제거 (${\displaystyle \bot }$E)를 규칙으로 추가함으로써 (함의 단편의)^[10] 직관 논리를 얻는다.

${\displaystyle P\to \neg \neg P}$는 (이미 최소 논리에서) 유효하지만, 역함의는 배중률을 수반한다.

• 고전 논리: 이중 부정 제거 (${\displaystyle \neg \neg }$E)도 허용된다면,^[14] 이 시스템은 (완전한!) 고전 논리를 정의한다.^[12][13][15]

엄선된 정리 (고전 논리)

고전 논리에서 실질적 함의는 다음을 검증한다.

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1.	[ (Q → ⊥) → (P → ⊥) ]	// 가정 (9에서 해제)
2.	[ P ]	// 가정 (8에서 해제)
3.	[ Q → ⊥ ]	// 가정 (6에서 해제)
4.	P → ⊥	// ${\displaystyle \to }$E (1, 3)
5.	⊥	// ${\displaystyle \to }$E (2, 4)
6.	(Q → ⊥) → ⊥	// ${\displaystyle \to }$I (3, 5) (3 해제)
7.	Q	// ${\displaystyle \neg \neg }$E (6)
8.	P → Q	// ${\displaystyle \to }$I (2, 7) (2 해제)
9.	((Q → ⊥) → (P → ⊥)) → (P → Q)	// ${\displaystyle \to }$I (1, 8) (1 해제)

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1.	[ (P → Q) → P ]	// 가정 (11에서 해제)
2.	[ P → ⊥ ]	// 가정 (9에서 해제)
3.	[ P ]	// 가정 (6에서 해제)
4.	⊥	// ${\displaystyle \to }$E (2, 3)
5.	Q	// ${\displaystyle \bot }$E (4)
6.	P → Q	// ${\displaystyle \to }$I (3, 5) (3 해제)
7.	P	// ${\displaystyle \to }$E (1, 6)
8.	⊥	// ${\displaystyle \to }$E (2, 7)
9.	(P → ⊥) → ⊥	// ${\displaystyle \to }$I (2, 8) (2 해제)
10.	P	// ${\displaystyle \neg \neg }$E (9)
11.	((P → Q) → P) → P	// ${\displaystyle \to }$I (1, 10) (1 해제)

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1.	${\displaystyle [P\to \bot ]}$	// 가정
2.	${\displaystyle [P]}$	// 가정
3.	${\displaystyle \bot }$	// ${\displaystyle \to }$E (1, 2)
4.	${\displaystyle Q}$	// ${\displaystyle \bot }$E (3)
5.	${\displaystyle P\to Q}$	// ${\displaystyle \to }$I (2, 4) (2 해제)
6.	${\displaystyle (P\to \bot )\to (P\to Q)}$	// ${\displaystyle \to }$I (1, 5) (1 해제)

• 가져오기-내보내기: ${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• 부정 조건문: ${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• 또는-그리고-이면: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• 전건의 교환성: ${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• 좌분배성: ${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

마찬가지로, 다른 연결사에 대한 고전적 해석에서 실질적 함의는 다음 귀결을 검증한다.

• 전건 강화: ${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• 추이성: ${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• 분리 전건의 단순화: ${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

실질적 함의를 포함하는 항진식은 다음과 같다.

• 반사성: ${\displaystyle \models P\to P}$
• 전체성: ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• 조건부 배중률: ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

자연어와의 불일치

실질적 함의는 자연어의 조건문 사용과 밀접하게 일치하지 않는다. 예를 들어, 거짓 전건을 가진 실질 조건문은 공허하게 참이지만, 자연어 문장 "8이 홀수라면, 3은 소수이다"는 일반적으로 거짓으로 판단된다. 마찬가지로, 참 후건을 가진 어떤 실질 조건문도 그 자체로 참이지만, 화자들은 일반적으로 "내 주머니에 1페니가 있다면, 파리는 프랑스에 있다"와 같은 문장을 거부한다. 이러한 고전적인 문제들은 실질적 함의의 역설이라고 불렸다.^[16] 역설 외에도, 실질적 함의 분석에 반대하는 다양한 다른 주장이 제기되었다. 예를 들어, 반사실적 조건문은 그러한 설명에서는 모두 공허하게 참이 될 것이지만, 실제로는 일부는 거짓이다.^[17]

20세기 중반, H. P. 그라이스와 프랭크 잭슨을 포함한 여러 연구자들은 화용론적 원리가 자연어 조건문과 실질 조건문 사이의 불일치를 설명할 수 있다고 제안했다. 그들의 설명에 따르면, 조건문은 실질적 함의를 지시하지만, 그라이스의 격률과 같은 대화적 규범과 상호작용할 때 추가 정보를 전달하게 된다.^[16][18] 형식 의미론 및 언어철학의 최근 연구는 일반적으로 자연어 조건문에 대한 분석으로서 실질적 함의를 피하고 있다.^[18] 특히, 이러한 연구는 자연어 조건문이 "P라면 Q"의 진리값이 오직 P와 Q의 진리값에 의해서만 결정된다는 의미에서 진리 함수적이라는 가정을 종종 거부했다.^[16] 따라서 조건문의 의미론적 분석은 일반적으로 양상 논리, 연관 논리, 확률론 및 인과 모델과 같은 기초 위에 구축된 대안적 해석을 제안한다.^[18][16][19]

조건부 추론을 연구하는 심리학자들에 의해 유사한 불일치가 관찰되었는데, 예를 들어 악명 높은 웨이슨 선택 과제 연구에서 참가자의 10% 미만이 실질 조건문에 따라 추론했다. 일부 연구자들은 이 결과를 참가자들이 규범적인 추론 법칙을 따르지 못한 실패로 해석한 반면, 다른 연구자들은 참가자들이 비고전적 법칙에 따라 규범적으로 추론한다고 해석한다.^[20][21][22]

같이 보기

• 부울 도메인
• 불 함수
• 불 논리
• 조건부 한정사
• 함의 명제 계산
• 형식의 법칙들
• 논리 그래프
• 동치
• 실질적 함의 (추론 규칙)
• 피어스의 법칙
• 명제 계산
• 유일한 충분 연산자

조건문

• 해당 조건문
• 반사실적 조건문
• 직설적 조건문
• 엄격한 조건문