이차 초곡면

기하학에서 이차 초곡면(二次超曲面, 영어: quadric)은 이차 다항식으로 정의되는 대수다양체이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$에 대한 ${\displaystyle n}$변수 2차 다항식 ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle P}$에 대응하는 이차 초곡면은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {A} _{K}^{n}/(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$

즉,

${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {A} _{K}^{n}\colon P(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\}}$

이다. 이는 일반적으로 ${\displaystyle n-1}$차원 아핀 대수다양체를 이룬다.

만약 ${\displaystyle P}$가 이차 형식일 경우, 사영 공간 위에도 이차 초곡면을 정의할 수 있다. 즉, 주어진 이차 형식 ${\displaystyle Q(x_{0},\dots ,x_{n})}$이 0이 되는 동차 좌표를 갖는 점들로 구성된 사영 대수다양체를 생각할 수 있다. 이는 ${\displaystyle n}$차원 사영 공간 속의 ${\displaystyle n-1}$차원 사영 대수다양체를 이룬다.

2차원 이차 초곡면을 이차 곡면(영어: quadric surface)이라고 한다.

예

1차원 이차 초곡면

 이 부분의 본문은 원뿔 곡선입니다.

유클리드 공간의 1차원 이차 초곡면은 원뿔 곡선이라고 한다.

이차 곡면

유클리드 공간의 이차 곡면들은 다음과 같이 14가지가 있다.

비퇴화 이차 곡면
타원면	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$		회전타원면	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1}$		구	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1}$
타원 포물면	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0}$		원 포물면	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0}$		쌍곡 포물면	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0}$
일엽 쌍곡면	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$		이엽 쌍곡면	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1}$
퇴화 이차 곡면
타원뿔	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0}$		원뿔	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0}$		포물 기둥	${\displaystyle x^{2}+2ay=0}$
타원기둥	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}$		원기둥	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1}$		쌍곡 기둥	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1}$

같이 보기

• 회전타원면

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.