야코비 기호

수론에서 야코비 기호(Jacobi symbol)는 르장드르 기호를 소수뿐만이 아니라 모든 양의 홀수 범위로 확장한 함수이다.

임의의 홀수 ${\displaystyle n}$이 ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$의 꼴로 소인수 분해될 때,

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}}$

로 정의된다. 여기에서 ${\displaystyle p}$가 소수일 때의 ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$는 르장드르 기호를 가리킨다.

크로네커 기호는 야코비 기호를 홀수 범위에서 모든 정수 범위로 확장한 기호이다.

성질

아래의 네 성질은 르장드르 기호에서의 성질과 동일하다.

1. ${\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)=\left({\frac {a}{n}}\right)\left({\frac {b}{n}}\right)}$
2. ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$이면 ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {b}{n}}\right)}$
3. ${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}={\begin{cases}1{\mbox{ if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1{\mbox{ if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$
4. m, n이 홀수일 때 ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{{\tfrac {m-1}{2}}{\tfrac {n-1}{2}}}}$ (이차 상호 법칙)

역사

카를 구스타프 야코프 야코비가 1837년에 제시하였다.

값 표

k n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
1	−1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	1	1	1	1	1	1	−1	1	1	1	1	1	1	1	1	−1	1	1	1	1	1
3	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
5	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0	1	−1	−1	1	0
7	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1	−1	1	−1	−1	0	1	1
9	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
11	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1
13	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	1	0	1	−1	1	1
15	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	1	1	0	1	0	0	−1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0
17	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	0	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	−1	1
19	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	1
21	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0	−1	−1	0	−1	0	0	1	1	0	−1	1	0	1	−1	0	1	1	0	0	−1	0
23	1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	0	1	1	1	1	−1	1	−1
25	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0
27	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1	0
29	1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	0	1
31	1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1
33	1	1	0	1	−1	0	−1	1	0	−1	0	0	−1	−1	0	1	1	0	−1	−1	0	0	−1	0	1	−1	0	−1	1	0
35	1	−1	1	1	0	−1	0	−1	1	0	1	1	1	0	0	1	1	−1	−1	0	0	−1	−1	−1	0	−1	1	0	1	0
37	1	−1	1	1	−1	−1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1	−1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	1	1	1	−1	1
39	1	1	0	1	1	0	−1	1	0	1	1	0	0	−1	0	1	−1	0	−1	1	0	1	−1	0	1	0	0	−1	−1	0
41	1	1	−1	1	1	−1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	−1	−1	−1
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45	1	−1	0	1	0	0	−1	−1	0	0	1	0	−1	1	0	1	−1	0	1	0	0	−1	−1	0	0	1	0	−1	1	0
47	1	1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	−1	1	1	−1	−1
49	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
51	1	−1	0	1	1	0	−1	−1	0	−1	1	0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	−1	1	0	1	−1	0	−1	1	0
53	1	−1	−1	1	−1	1	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	1	1	−1	−1	1	1	−1
55	1	1	−1	1	0	−1	1	1	1	0	0	−1	1	1	0	1	1	1	−1	0	−1	0	−1	−1	0	1	−1	1	−1	0
57	1	1	0	1	−1	0	1	1	0	−1	−1	0	−1	1	0	1	−1	0	0	−1	0	−1	−1	0	1	−1	0	1	1	0
59	1	−1	1	1	1	−1	1	−1	1	−1	−1	1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1	1	1	−1	−1	1	1	1	1	1	−1

참고 문헌

• Cohen, Henri (1993). 《A Course in Computational Algebraic Number Theory》. Berlin: Springer. ISBN 3-540-55640-0.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). 《A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)》. New York: Springer. ISBN 0-387-97329-X.
• Lemmermeyer, Franz (2000). 《Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein》. Berlin: Springer. ISBN 3-540-66957-4.

외부 링크

• Calculate Jacobi symbol 보관됨 2016-10-05 - 웨이백 머신 shows the steps of the calculation.