벡터 미적분학

벡터 미적분학(-微積分學, 영어: vector calculus) 또는 벡터 해석학(-解析學, 영어: vector analysis)은 주로 3차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$에서 벡터장의 미분과 적분을 다루는 분야이다. '벡터 미적분학'이라는 용어는 벡터 미적분학뿐만 아니라 편미분과 중적분을 포함하는 다변수 미적분학을 가리키기 위해 사용하기도 한다. 벡터 미적분학은 미분 기하학과 편미분방정식에 중요한 개념들을 포함하며, 전자기장과 중력장, 유체동역학 등 공학과 물리 분야에서 유용하게 사용된다.

벡터 미적분학은 19세기 말 조사이어 윌러드 기브스와 올리버 헤비사이드에 의해 사원수로부터 발전하였으며, 대부분의 표기와 용어는 1901년 기브스와 에드윈 비드웰 윌슨의 책 《벡터 해석학_{Vector Analysis}》에서 확립되었다. 외적을 사용하는 기존 형식에서, 외대수를 사용하는 기하적 대수학은 더 높은 차원으로 확장할 수 있는 반면 벡터 미적분학은 확장하지 못한다.

기본 개념

스칼라장

 이 부분의 본문은 스칼라장입니다.

스칼라장은 공간의 각 점에 스칼라를 대응시킨 것으로, 스칼라는 물리량을 나타내는 수이다. 스칼라장의 예시로는 공간 내의 온도 분포, 유체의 압력분포 등이 있다.

벡터장

 이 부분의 본문은 벡터장입니다.

벡터장은 공간의 각 점에 벡터를 대응시킨 것이다.^[1] 벡터장 중 하나인 평면 벡터장은 평면 위의 각 점에서 특정 크기와 방향을 가진 화살표들을 그려 나타낸다. 벡터장은 공간 내에서 유체의 속도와 방향이나 자기력 및 중력과 같은 힘의 세기와 방향 등을 나타낼 때 자주 사용하며, 선을 따라 이동할 때의 일을 계산하는 등에 응용된다.

벡터 대수학

벡터 미적분학의 대수적 연산을 벡터 대수학이라 하며, 벡터 공간에서 정의되어 벡터장에 적용된다. 아래는 기초 대수적 연산들이다.^[2]

벡터 미적분학의 표기

연산	표기	설명
벡터 덧셈	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$	두 벡터를 더하여 새로운 벡터를 얻는다.
스칼라 곱셈	${\displaystyle a\mathbf {v} }$	스칼라와 벡터를 곱하여 벡터를 얻는다.
스칼라곱	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$	두 벡터를 곱하여 스칼라를 얻는다.
벡터곱	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 내의 두 벡터를 곱하여 (유사)벡터를 얻는다.

아래는 벡터의 삼중곱이다.

삼중곱

연산	표기	설명
스칼라 삼중곱	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot (\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3})}$	두 벡터의 벡터곱과 나머지 벡터를 스칼라곱한다.
벡터 삼중곱	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times (\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3})}$	두 벡터의 벡터곱과 나머지 벡터를 벡터곱한다.

연산자 및 정리

미분 연산자

 이 부분의 본문은 기울기 (벡터), 발산 (벡터), 회전 (벡터) 및 라플라시안입니다.

벡터 미적분학은 스칼라장이나 벡터장에서 정의된, 주로 델 연산자(${\displaystyle \nabla }$)로 나타나는 다양한 미분 연산자들을 다룬다. 아래는 세 기본 벡터 연산자들이다.^[3]

미분 연산자

연산	표기	설명	정의역/치역
기울기	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	스칼라장에서 증가율과 방향	스칼라장에서 벡터장으로 사상
발산	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	벡터장 내의 주어진 점에서 밖으로 향하는 선속의 밀도	벡터장에서 스칼라장으로 사상
회전	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 벡터장 내의 점에서 회전하는 정도	벡터장에서 (유사)벡터장으로 사상
f 는 스칼라장, F는 벡터장

아래는 라플라스 연산자이다.

라플라스 연산자

연산	표기	설명	정의역/치역
라플라시안	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	스칼라장 내 점의 함수값과 근방 점들의 평균 함수값의 차이	스칼라장에서 스칼라장으로 사상
벡터 라플라시안	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	벡터장 내 점의 함수값과 근방 점들의 평균 함수값의 차이	벡터장에서 벡터장으로 사상
f 는 스칼라장, F는 벡터장

정의역과 치역이 다변수인 함수에는 야코비 행렬이 유용하게 사용된다.

적분 정리

세 기본 벡터 연산자는 각각 미적분학의 기본 정리를 더 높은 차원으로 일반화하는 아래의 정리들에 대응한다.

벡터 미적분학의 적분 정리

정리	식	설명
기울기 정리(선적분의 기본정리)	${\displaystyle \ L=L[p\to q]}$일 때 ${\displaystyle \int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ }$	보존벡터장에서 곡선 L의 선적분은 곡선의 양 끝점 p와 q의 변화량과 같다.
발산 정리	${\displaystyle \underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$	벡터장에서 n차원 물체 V의 발산함수의 적분값은 V의 n-1차원 폐곡면을 통과하는 선속과 같다.
회전 정리(켈빈-스토크스 정리)	${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 내의 곡면 Σ에서 벡터장의 회전의 적분값은 곡면을 둘러싼 폐곡선의 선적분과 같다.
${\displaystyle \varphi }$는 스칼라장, F는 벡터장

2차원에서의 발산 정리와 회전 정리는 그린 정리가 된다.

그린 정리

연산	식	설명
그린 정리	${\displaystyle \iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 내의 영역 A에서 벡터장의 발산(또는 회전)의 적분은 영역을 감싸는 폐곡선의 선속(또는 선적분)과 같다.
발산일 때 F = (M, −L), 회전일 때 F = (L, M, 0). L과 M은 (x, y)에 대한 함수.

응용

선형 근사

 이 부분의 본문은 선형 근사입니다.

선형 근사는 복잡한 함수를 그와 거의 비슷한 선형 함수로 근사하기 위해 사용한다. 실함수 f(x, y)가 주어졌을 때 (a, b) 주변의 (x, y)에 대한 함수 f(x, y)는 아래와 같이 근사된다.

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

식의 우변은 함수 z = f(x, y)의 (a, b)에서의 접평면의 방정식이다.

공학 및 물리

벡터 미적분학은 다음 분야들에서 사용된다.

• 질량중심
• 장이론
• 운동학
• 맥스웰 방정식

같이 보기

• 기울기 (벡터)
• 발산 (벡터)
• 회전 (벡터)
• 델 (연산자)
• 라플라스 연산자
• 벡터장
• 그린 정리
• 스토크스의 정리