열핵

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해석학에서 열핵(熱核, 영어: heat kernel)은 열 방정식의 그린 함수이다.^[1][2][3] 해석학에서 함수를 매끄럽게 만들기 위해 쓰인다.

정의

일반화 라플라스 연산자

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle n}$차원 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$
• 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$

${\displaystyle E}$ 위의 라플라스형 연산자는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의, ${\displaystyle E}$ 위의 2차 미분 연산자이다.^{[1]:65, Definition 2.2}

${\displaystyle H\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}$

${\displaystyle H=g^{ij}(x)\partial _{i}\partial _{j}+A^{i}(x)\partial _{i}+B(x)\qquad (A^{i}\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} M),\;B\in \Gamma ^{\infty }(E))}$

여기서 ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }}$는 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 ${\displaystyle \Gamma ^{0}}$로 표기하자.

다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량 ${\displaystyle g}$와 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla }$ 및 매끄러운 단면 ${\displaystyle T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})}$에 대하여

${\displaystyle Hs=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}s+Ts}$

의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다.

열핵

이제, ${\displaystyle |\Lambda (M)|^{1/2}}$가 ${\displaystyle M}$ 위의, 무게 ${\displaystyle n/2}$의 밀도 다발이라고 하자. (이는 ${\displaystyle M}$의 방향과 관계없이 정의된다.) 그렇다면, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times M\times M}$ 위에 다음과 같은, ${\displaystyle (\dim E)^{2}}$차원 벡터 다발을 생각하자.

${\displaystyle F=(E\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})\boxtimes (E^{*}\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})}$

${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간일 경우, ${\displaystyle H}$의 열핵

${\displaystyle K(t,x,y)\in \Gamma ^{0}(F)}$

은 다음 조건들을 만족시키는, ${\displaystyle F}$의 (연속) 단면이다.

• ${\displaystyle t}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 함수이다. 즉, ${\displaystyle \partial K(t,x,y)/\partial t}$가 존재하며, 연속 함수 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times M\times M\to F}$를 이룬다.
• ${\displaystyle x}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ 함수이다. 즉, ${\displaystyle \partial ^{2}K(t,x,y)/\partial x^{i}\partial x^{j}}$가 연속적으로 존재한다.
• 열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(t,x,y)=0}$

• (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }({\mathcal {E}}\otimes _{\mathbb {R} }|\Lambda (M)|^{1/2})}$에 대하여,

  ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int K(t,x,y)s(y)\,\mathrm {d} y=s(x)}$

여기서 극한은 ${\displaystyle M}$ 위의 균등 노름에 대한 것이다.

만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.

경계다양체 위의 열핵

만약 ${\displaystyle M}$이 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체라고 하고, ${\displaystyle E}$가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한, 마찬가지로 ${\displaystyle E}$ 위의 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자.

이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 ${\displaystyle n}$이라고 하자. 그렇다면, 단면 ${\displaystyle s\in \Gamma ^{\infty }(E)}$ 위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다.

${\displaystyle s\upharpoonright \partial M=s_{0}}$

또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다.

${\displaystyle (\nabla _{X}s)\upharpoonright \partial M+A(s\upharpoonright \partial M)=s_{0}}$

여기서

${\displaystyle A\in \Gamma ^{\infty }(\partial M,\operatorname {End} E)}$

이다.

이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.

성질

존재 조건

만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.^[1]

적분

콤팩트 리만 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자.

${\displaystyle Hf=\Delta f+\nabla _{X}f+C}$

여기서 ${\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}$는 ${\displaystyle M}$ 위의 임의의 벡터장이며, ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$는 임의의 스칼라장이다.

이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{M}HK(t,x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{M}(\Delta +\nabla _{X}+C)K(t,x,y)\,\mathrm {d} x=C(y)\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x}$

즉,

${\displaystyle F(t,y)=\int _{M}K(t,x,y)\,\mathrm {d} x}$

로 놓으면 다음이 성립한다.

${\displaystyle F(t_{0}+s,y)=\exp(C(y)s)F(t_{0},y)}$

특히, 만약 ${\displaystyle C=0}$이라고 하면, ${\displaystyle F(t,y)}$는 ${\displaystyle t}$에 의존하지 않으며, 이 경우 ${\displaystyle t\to 0}$에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수

${\displaystyle F(t,y)=1}$

가 된다.

반군 성질

콤팩트 리만 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$ 위의 라플라스형 연산자 ${\displaystyle H}$의 열핵 ${\displaystyle K(t,x,y)}$가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle K(t+t',x,y)=\int _{M}K(t,x,z)K(t',z,y)\,\mathrm {d} z}$

즉, 이는 반군 준동형

${\displaystyle K\colon (\mathbb {R} ^{+},+)\to (E\otimes |\Lambda M|^{1/2})\boxtimes (E^{*}\otimes |\Lambda M|^{1/2})}$

${\displaystyle K\colon t\mapsto K(t,-,-)}$

을 정의한다. (여기서 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},+)}$는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.) 이를 열핵의 반군 성질(半群性質, 영어: semigroup property)이라고 한다.

이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }$가 자명한 선다발이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 ${\displaystyle t_{0}\in \mathbb {R} ^{+}}$에서, 콤팩트 공간 ${\displaystyle M\times M}$ 위의 실수 값 연속 함수 ${\displaystyle K(t_{0},-,-)}$는 최댓값

${\displaystyle \max _{(x,y)\in M^{2}}K(t_{0},x,x)=C_{t_{0}}}$

을 갖는다. 그렇다면, ${\displaystyle t_{0}}$ 초과의 임의의 시각 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}}$, ${\displaystyle t>t_{0}}$에서,

${\displaystyle K(t,x,y)=\int _{M}K(t_{0},x,z)K(t-t_{0},z,y)\,\mathrm {d} z\leq C_{t_{0}}\int _{M}K(t-t_{0},z,y)\,\mathrm {d} z=C_{t_{0}}}$

이다. 따라서, 함수

${\displaystyle C\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle C\colon t\mapsto \max _{(x,y)\in M^{2}}K(t,x,y)}$

는 항상 감소 함수이다.

점근적 전개

콤팩트 ${\displaystyle n}$차원 리만 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E}$ 위의 라플라스형 연산자 ${\displaystyle H}$가 주어졌을 때, 그 열핵 ${\displaystyle K_{H}}$는 다음과 같은 꼴로 전개된다.^{[1]:81–82, §2.5[4]:(1.13)}

${\displaystyle K_{H}(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\exp(-d(x,y)/4t)\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}f_{i}(x,y)}$

여기서

${\displaystyle f_{i}\in \Gamma ^{\infty }\left((E\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\boxtimes (E^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\right)}$

이다.

약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 ${\displaystyle f\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (E))}$에 대하여,^[4]:(2.21)

${\displaystyle \operatorname {tr} (f\exp(-tH))=\sum _{i\in 2\mathbb {N} }t^{(i-n)/2}a_{i}(f,H)}$

위 합에서는 오직 짝수 ${\displaystyle i}$만이 등장한다.^[4]:§4.1 만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수 ${\displaystyle i}$ 역시 등장할 수 있다.

고윳값

${\displaystyle M}$ 위의 라플라스형 연산자 ${\displaystyle H=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}+T}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle M}$이 콤팩트 다양체이며, ${\displaystyle T}$가 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle H}$를 복소수 힐베르트 공간

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}$

에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약 ${\displaystyle T}$의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.

${\displaystyle 0=\lambda _{0}<-\lambda _{1}\leq -\lambda _{2}\leq -\lambda _{3}\leq \cdots }$

이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(M;E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}$의 정규 직교 기저를 ${\displaystyle \phi _{i}}$라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.

${\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i})\phi _{i}(x)\phi _{i}(y)}$

그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

예

유클리드 공간

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자

${\displaystyle H=\Delta +C}$

의 열핵은 다음과 같다.^[4]:(1.12)

${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{n/2}}}\exp(tC-\|x-y\|^{2}/4t)}$

대칭 공간

이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다.^[5] 예를 들어, 구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\operatorname {SU} (2)/\operatorname {U} (1)}$ 위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.^{[6]:328, (1)}

${\displaystyle K(t,g\operatorname {U} (1),1_{\operatorname {SU} (2)}\!\operatorname {U} (1))=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\exp(-n(n+1)t/2)\operatorname {P} _{n}\left({\frac {\left(\operatorname {tr} g\right)^{2}+\left(\operatorname {tr} (\mathrm {i} \sigma _{3}g)\right)^{2}}{2}}-1\right)\qquad \left(t\in \mathbb {R} ^{+},\;g\in \operatorname {SU} (2)\right)}$

여기서

${\displaystyle \mathrm {i} \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2)}$

는 파울리 행렬이며, ${\displaystyle \mathrm {P} _{n}(-)}$는 르장드르 다항식이다.

멜러 핵

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자.

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {1}{2}}mx^{2}-E}$

이는 무게 ${\displaystyle m}$의 조화 진동자의 해밀토니언 연산자이다. ${\displaystyle H}$의 열핵은 다음과 같다.

${\displaystyle K(t,x,y)={\sqrt {\frac {m}{2\pi \sinh t}}}\exp \left(-{\frac {m(x^{2}+y^{2})}{2\tanh t}}+{\frac {mxy}{\sinh(mxy)}}-Et\right)}$

이를 멜러 핵(Mehler核, 영어: Mehler kernel)이라고 한다.^{[1]:154, §4.2}

역사

멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(독일어: Gustav Ferdinand Mehler, 1835~1895)가 도입하였다.^{[7]:173–174}