옌센 부등식

수학에서 옌센 부등식(영어: Jensen’s inequality)은 기댓값의 볼록 함수와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식이다.^[1][2]

정의

열린구간 ${\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }$ 위의 볼록 함수 ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ 및 실수 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {(} a,b)}$ 및 음이 아닌 실수 ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}\in [0,1]}$ (${\displaystyle p_{1}+\cdots +p_{n}=1}$)가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n})\leq p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+\cdots +p_{n}f(x_{n})}$

보다 일반적으로, 열린구간 ${\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }$ 위의 볼록 가측 함수 ${\displaystyle f\colon ((a,b),{\mathcal {B}}((a,b)))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ 및 확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}$ 위의 확률 변수 ${\displaystyle X\colon \Omega \to ((a,b),{\mathcal {B}}((a,b)))}$가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 만약 기댓값 ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$와 ${\displaystyle \operatorname {E} (f(X))}$가 존재한다면, 이것이 성립한다.^{[1]:66[2]:86, §3.1, Theorem 3.1.9}

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {E} (-)}$는 기댓값이다.

특수한 경우

산술-기하 평균 부등식

 이 부분의 본문은 산술-기하 평균 부등식입니다.

만약 ${\displaystyle (a,b)=(0,\infty )}$이며, ${\displaystyle f=-\ln }$일 경우, 옌센 부등식은 산술-기하 평균 부등식

${\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}$

이다.

영의 부등식

 이 부분의 본문은 영의 부등식입니다.

만약 ${\displaystyle (a,b)=(0,\infty )}$이며, ${\displaystyle f=-\ln }$이며, ${\displaystyle n=2}$이며, ${\displaystyle \textstyle p_{1}={\frac {1}{p}}}$, ${\displaystyle \textstyle p_{2}={\frac {1}{q}}}$ (${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$)일 경우, 옌센 부등식은 영의 부등식

${\displaystyle {\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}\geq x^{1/p}y^{1/q}}$

이다.

멱함수

양의 실수 ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle (a,b)=(0,\infty )}$이며, ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{p}}$이며, ${\displaystyle \textstyle p_{i}={\frac {1}{n}}}$일 경우, 옌센 부등식은

${\displaystyle (|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\leq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})}$

이다.

양의 실수 ${\displaystyle p\in (0,1)}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle (a,b)=(0,\infty )}$이며, ${\displaystyle f\colon x\mapsto -x^{p}}$이며, ${\displaystyle \textstyle p_{i}={\frac {1}{n}}}$일 경우, 옌센 부등식은

${\displaystyle (|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\geq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})}$

이다.

역사

요한 옌센(덴마크어: Johan Jensen)의 이름을 땄다.