오퍼라드

대수학과 대수적 위상수학에서 오퍼라드(영어: operad)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다.^[1][2][3] 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

정의

자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1_{\otimes })}$에서, 대상 ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$의 원소는 사상 ${\displaystyle 1_{\otimes }\to C}$로 정의하자.

대칭 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1_{\otimes })}$에서의 오퍼라드 ${\displaystyle (P,\circ ,1_{P})}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• (연산 집합) 모든 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle P(n)\in {\mathcal {C}}}$. ${\displaystyle P(n)}$의 원소를 각각 ${\displaystyle n}$-항 연산(영어: n-ary operation)이라고 한다.
• (항등 연산) ${\displaystyle P(1)}$의 원소 ${\displaystyle 1_{P}\in P(1)}$. 이를 항등 연산(영어: unit)이라고 한다.
• (변수의 치환) 각 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 군 준동형 ${\displaystyle *\colon \operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Aut} _{\mathcal {C}}(P(n))}$. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 대칭군이다.
• (연산의 합성) 자연수 ${\displaystyle n,n_{1},n_{2},\dots ,n_{n}\in \mathbb {N} }$에 대해, 함수들

${\displaystyle {\begin{matrix}P(n)\otimes P(n_{1})\otimes \cdots \otimes P(n_{n})&\to &P(n_{1}+\cdots +n_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto &\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\end{matrix}}}$

이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.

• (결합법칙) 모든 ${\displaystyle \theta \in P(n)}$, ${\displaystyle \theta _{i}\in P(n_{i})}$, ${\displaystyle \theta _{i,j(i)}\in P(n_{i,j(i)})}$에 대하여 (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, ${\displaystyle j(i)=1,\dots ,n_{i}}$),

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}}))=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}})}$

• (항등원의 성질) 모든 ${\displaystyle \theta \in P(n)}$에 대하여,

${\displaystyle \theta \circ (\overbrace {1,\ldots ,1} ^{n})=\theta =1\circ \theta }$

• (치환의 작용) 모든 ${\displaystyle \theta \in P(n)}$ 및 ${\displaystyle \theta _{i}\in P(n_{i})}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$) 및 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (n)}$에 대하여,

${\displaystyle \sigma *(\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n}))=\theta \circ (\theta _{\sigma ^{-1}(1)},\dots ,\theta _{\sigma ^{-1}(n)})}$

• (치환의 작용) 모든 ${\displaystyle \theta \in P(n)}$ 및 ${\displaystyle \theta _{i}\in P(n_{i})}$ 및 순열 ${\displaystyle \sigma _{i}\in \operatorname {Sym} (n_{i})}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)에 대하여,

${\displaystyle (\theta \circ (\sigma _{1}*\theta _{1},\dots ,\sigma _{n}*\theta _{n}))=\iota (\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})*\left(\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})\right)}$

여기서 ${\displaystyle \iota \colon \prod _{i=1}^{n}\operatorname {Sym} (n_{i})\hookrightarrow \operatorname {Sym} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i}\right)}$는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 두 오퍼라드 ${\displaystyle (P,\circ _{P},1_{P})}$, ${\displaystyle (Q,\circ _{Q},1_{Q})}$ 사이의 사상 ${\displaystyle f\colon P\to Q}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 사상 ${\displaystyle f(n)\colon P(n)\to Q(n)}$.

이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

• (연산 합성의 보존) 모든 ${\displaystyle (\theta ,\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})\in P(n)\times P(n_{1})\times P(n_{2})\times \cdots \times P(n_{n})}$에 대하여,

${\displaystyle f(\theta \circ _{P}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ _{Q}(f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• (항등원의 보존) ${\displaystyle f(1_{P})=1_{Q}}$
• (대칭군의 작용의 보존) 모든 ${\displaystyle \theta \in P(n)}$ 및 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (n)}$에 대하여,

${\displaystyle f(\sigma *\theta )=\sigma *f(\theta )}$

이에 따라, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서의 오퍼라드들은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\operatorname {-Operad} }$를 이룬다.

오퍼라드의 모나드

집합의 데카르트 닫힌 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ 속의 오퍼라드 ${\displaystyle (P,\circ _{P},1_{P})}$가 주어지면, 이로부터 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ 위의 모나드 ${\displaystyle {\hat {P}}\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }$를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 ${\displaystyle S}$는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, ${\displaystyle {\hat {P}}(S)}$는 ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle S}$를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {P}}\implies {\hat {P}}}$는 ${\displaystyle P}$의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

오퍼라드 대수

 이 부분의 본문은 오퍼라드 대수입니다.

오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 오퍼라드 대수라고 한다.

예

자기준동형 오퍼라드

${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1)}$가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(영어: endomorphism operad) ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)}$는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.^[1]

• 각 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)(n)=\hom _{\mathcal {C}}(X^{n},X)}$
• ${\displaystyle 1_{\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)}=\operatorname {id} _{X}}$
• 각 ${\displaystyle \theta ,\theta _{1},\dots ,\theta _{n}}$에 대하여,

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})=\theta \circ \otimes _{i=1}^{n}\theta _{i}}$

초입방체 오퍼라드

양의 정수 ${\displaystyle k}$에 대하여, ${\displaystyle k}$차원 초입방체 오퍼라드(영어: n-cubes operad) ${\displaystyle C_{k}}$는 다음과 같다.^[1]

• ${\displaystyle C_{k}(n)}$은 ${\displaystyle n}$개의 ${\displaystyle k}$차원 초입방체 ${\displaystyle \square _{1},\dots ,\square _{n}}$를 하나의 ${\displaystyle k}$차원 초입방체 ${\displaystyle \square }$에 서로 겹치지 않고, ${\displaystyle \square _{i}}$의 면들이 ${\displaystyle \square }$의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
• ${\displaystyle C_{k}}$의 항등원은 초입방체 ${\displaystyle \square }$ 위의 항등 함수이다.
• ${\displaystyle C_{k}}$에서, ${\displaystyle \theta \colon \square _{1}\sqcup \cdots \sqcup \square _{n}\hookrightarrow \square }$와 ${\displaystyle \theta _{i}\colon \square _{i,1}\sqcup \cdots \sqcup \square _{i,n_{i}}\hookrightarrow \square _{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)의 합성은 매장을 합성하여, ${\displaystyle \square _{i,j}}$를 ${\displaystyle \square }$ 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

결합법칙 오퍼라드

벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}$ 위에서 다음과 같은 오퍼라드 ${\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}}$를 정의하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}}$의 ${\displaystyle n}$항 연산은 ${\displaystyle n!}$차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 ${\displaystyle \operatorname {Span} _{K}\operatorname {Sym} (n)}$이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 크기가 ${\displaystyle n!}$인 대칭군이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$의 작용은 군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}}$의 연산의 합성은 함수

${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\times \operatorname {Sym} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {Sym} (n_{n})\to \operatorname {Sym} (n_{1}+\cdots +n_{n})}$

${\displaystyle (\sigma ,\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})\mapsto \iota (\sigma _{\sigma ^{-1}(1)},\dots ,\sigma _{\sigma ^{-1}(n)})}$

의 선형 확장이다.

이 경우, ${\displaystyle \operatorname {Assoc} _{K}}$ 위의 대수는 결합 ${\displaystyle K}$-대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

역사와 어원

존 피터 메이(영어: Jon Peter May)^[4]와 마이클 보드먼(영어: J. Michael Boardman), 라이너 폭트(독일어: Rainer M. Vogt)^[5] 가 호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다.^[2] 메이에 따르면, "오퍼라드"(영어: operad 오퍼래드^[*])는 영어: operation 오퍼레이션^[*](연산)과 영어: monad 모내드^[*](모나드)의 합성어이다.

“	‘오퍼라드’라는 이름은 내가 일주일 동안 이것만을 생각하여 고안해 낸 용어이다. 이름이 근사하게 들리는 것 말고도, 이는 ‘연산’(영어: operation 오퍼레이션[*])과 ‘모나드’가 연상되게 한 것이다. 덧붙이자면, 나는 매클레인에게 […] ‘트리플’(영어: triple) 대신 ‘모나드’를 사용하도록 설득하였다. 나는 오퍼라드의 개념이 중요하다는 것을 확신하였고, 용어들이 서로 호환되기를 바랐다. The name “operad” is a word that I coined myself, spending a week thinking about nothing else. Besides having a nice ring to it, the name is meant to bring to mind both operations and monads. Incidentally, I persuaded MacLane to discard the term “triple” in favor of “monad” […]. I was convinced that the notion of an operad was an important one, and I wanted the names to mesh.	”
	— [2]

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

응용

수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.