대칭 모노이드 범주

범주론에서 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 영어: symmetric monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하고, 동형 사상 아래 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. (교환 법칙이 성립하지 못할 수 있는) 모노이드 범주의 개념의 특수한 경우이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$
• 함자 ${\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}},\;(X,Y)\mapsto X\otimes Y}$, ${\displaystyle \otimes \circ \sigma _{{\mathcal {C}},{\mathcal {C}}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}},\;(X,Y)\mapsto Y\otimes X}$ 사이의 자연 동형 ${\displaystyle \sigma \colon \otimes \Rightarrow \otimes \circ \sigma _{{\mathcal {C}},{\mathcal {C}}}}$. 여기서 ${\displaystyle \sigma _{{\mathcal {C}},{\mathcal {C}}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle (X,Y)\mapsto (Y,X)}$는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다.

이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자.

• (결합자와의 호환) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha _{Y,Z,X}\circ \sigma _{X,Y\otimes Z}\circ \alpha _{X,Y,Z}=(\operatorname {id} _{Y}\otimes \sigma _{X,Z})\circ \alpha _{Y,X,Z}\circ (\sigma _{X,Y}\otimes \operatorname {id} _{Z})}$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes Y)\otimes Z&{\xrightarrow {\sigma }}&(Y\otimes X)\otimes Z\\{\scriptstyle \alpha }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \alpha \\X\otimes (Y\otimes Z)&&Y\otimes (X\otimes Z)\\{\scriptstyle \sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \sigma \\(Y\otimes Z)\otimes X&{\xrightarrow[{\alpha }]{}}&Y\otimes (Z\otimes X)\\\end{matrix}}}$

• (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha _{Z,X,Y}^{-1}\circ \sigma _{X\otimes Y,Z}\circ \alpha _{X,Y,Z}^{-1}=(\sigma _{X,Z}\otimes \operatorname {id} _{Y})\circ \alpha _{X,Z,Y}^{-1}\circ (\operatorname {id} _{X}\otimes \sigma _{Y,Z})}$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes (Y\otimes Z)&{\xrightarrow {\sigma }}&X\otimes (Z\otimes Y)\\{\scriptstyle \alpha ^{-1}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \alpha ^{-1}\\(X\otimes Y)\otimes Z&&(X\otimes Z)\otimes Y\\{\scriptstyle \sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \sigma \\Z\otimes (X\otimes Y)&{\xrightarrow[{\alpha ^{-1}}]{}}&(Z\otimes X)\otimes Y\\\end{matrix}}}$

• (멱등성) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {id} _{X\otimes Y}=\sigma _{Y,X}\circ \sigma _{X,Y}}$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes Y&{\xrightarrow {\sigma }}&Y\otimes X\\\|&\swarrow \scriptstyle \sigma \\X\otimes Y\end{matrix}}}$

이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 꼬임 모노이드 범주(영어: braided monoidal category)라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, 영어: symmetric monoidal category)라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.

대칭 모노이드 함자

두 꼬임 모노이드 범주

${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\sigma )}$

${\displaystyle ({\mathcal {C}}',\otimes ',I',\alpha ',\lambda ',\rho ',\sigma ')}$

사이의 꼬임 모노이드 함자(영어: braided monoidal functor)는 다음 조건을 만족시키는 모노이드 함자

${\displaystyle (F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}',\xi \colon F(-)\otimes F(-)\Rightarrow F(-\otimes -),\xi _{0}\colon I'\to F(I))}$

이다.

• (꼬임과의 호환) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle F(\sigma _{X,Y})\circ \xi _{X,Y}=\xi _{Y,X}\circ \sigma '_{F(X),F(Y)}}$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}F(X)\otimes 'F(Y)&\xrightarrow {\sigma '} &F(Y)\otimes 'F(X)\\{\scriptstyle \xi }\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \xi }\\F(X\otimes Y)&\xrightarrow {F\sigma } &F(Y\otimes X)\end{matrix}}}$

두 대칭 모노이드 범주 사이의 대칭 모노이드 함자(영어: symmetric monoidal functor)는 단순히 둘 사이의 꼬임 모노이드 함자이다.

두 꼬임·대칭 모노이드 범주 사이의 두 꼬임·대칭 모노이드 함자 사이의 꼬임·대칭 모노이드 자연 변환(영어: braided/symmetric monoidal functor)은 단순히 둘 사이의 모노이드 자연 변환이다.

성질

모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.^[1]

• (항등원과의 호환) 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle \rho _{X}=\lambda _{X}\circ \sigma _{X,I}}$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}X\otimes I&{\xrightarrow {\sigma }}&I\otimes X\\{\scriptstyle \rho }\downarrow &\swarrow \scriptstyle \lambda \\X\end{matrix}}}$

대칭 구조가 유일할 조건

주어진 모노이드 범주 위의 대칭 구조는 존재하지 않을 수 있으며, 유일하지 않을 수 있다.

만약 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$가 국소적으로 작은 닫힌 모노이드 범주이며, 표현 가능 함자 ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(I,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$가 충실한 함자라면, ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$ 위의 대칭 구조는 (만약 존재한다면) 유일하다.^{[2]:536, Proposition III.6.1[3]:12, §1.4}

예

(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(영어: Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(영어: co-Cartesian monoidal category)라고 한다.

역사

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.^[4]

꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(프랑스어: André Joyal, 1943~)와 로스 하워드 스트리트(영어: Ross Howard Street)가 도입하였다.^[5][6]