전역 통과 필터

전역 통과 필터, 전대역 통과 필터, 올 패스 필터(all-pass filter)는 신호 처리 필터로, 진동수를 이득에서 균등하게 통과시키지만, 다양한 진동수 간의 위상 관계를 변경한다. 대부분의 필터 유형은 특정 진동수 값에 대해 신호의 진폭(즉, 크기)을 감소시키지만, 전역 통과 필터는 모든 진동수를 수준 변화 없이 통과시킨다.

일반적인 적용

전자 음악 제작에서 흔한 적용은 "페이저"로 알려진 효과 장치 설계에 있으며, 여기서는 여러 개의 전역 통과 필터가 순서대로 연결되고 출력이 원 신호와 혼합된다.

이는 위상 편이를 진동수의 함수로 변화시킴으로써 이루어진다. 일반적으로 필터는 위상 편이가 90°를 교차하는 진동수(즉, 입력 및 출력 신호가 구상에 들어갈 때 – 이들 사이에 1/4 파장 지연이 있을 때)로 설명된다.

이 필터는 일반적으로 시스템에서 발생하는 다른 원치 않는 위상 편이를 보상하거나, 원본의 시프트되지 않은 버전과 혼합하여 노치 콤 필터를 구현하는 데 사용된다.

이 필터는 또한 혼합 위상 필터를 등가 크기 응답을 갖는 최소 위상 필터로 또는 불안정한 필터를 등가 크기 응답을 갖는 안정적인 필터로 변환하는 데 사용될 수 있다.

능동 아날로그 구현

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저역 통과 필터를 이용한 구현

저역 통과 필터를 통합한 연산 증폭기 기반 전역 통과 필터.

인접 그림에 표시된 연산 증폭기 회로는 연산 증폭기의 비반전 입력에 로우패스 필터를 특징으로 하는 단일 극성 능동 전역 통과 필터를 구현한다. 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle H(s)=-{\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}}={\frac {1-sRC}{1+sRC}},\,}$

여기에는 -1/RC에 하나의 극점과 1/RC에 하나의 영점이 있다 (즉, 복소평면의 허수 축을 기준으로 서로 반사된다). 일부 각진동수 ω에 대한 H(iω)의 크기 및 위상은 다음과 같다.

${\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=-2\arctan(\omega RC).\,}$

이 필터는 모든 ω에 대해 단위-이득 크기를 갖는다. 이 필터는 각 주파수에서 다른 지연을 도입하고 ω=1/RC에서 입력-출력 직각 위상에 도달한다 (즉, 위상 편이 90°).^[2]

이 구현은 비반전 입력에서 저역 통과 필터를 사용하여 위상 편이 및 음성 되먹임을 생성한다.

• 높은 주파수에서 축전기는 합선이 되어 단위 이득을 갖는 반전 증폭기 (즉, 180° 위상 편이)를 생성한다.
• 낮은 주파수 및 DC에서 축전기는 개방 회로가 되어 단위-이득 전압 버퍼 (즉, 위상 편이 없음)를 생성한다.
• 저역 통과 필터의 코너 주파수 ω=1/RC에서 (즉, 입력 주파수가 1/(2πRC)일 때), 회로는 90° 편이를 도입한다 (즉, 출력이 입력과 직각 위상이다; 출력은 입력보다 4분의 1 주기만큼 지연된 것처럼 보인다).

실제로 전역 통과 필터의 위상 편이는 비반전 입력에서 저역 통과 필터의 위상 편이의 두 배이다.

순수 지연에 대한 파데 근사로 해석

순수 지연의 라플라스 변환은 다음과 같다.

${\displaystyle e^{-sT},}$

여기서 ${\displaystyle T}$는 지연 (초 단위)이고 ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$는 복소 주파수이다. 이것은 다음과 같이 파데 근사를 사용하여 근사할 수 있다.

${\displaystyle e^{-sT}={\frac {e^{-sT/2}}{e^{sT/2}}}\approx {\frac {1-sT/2}{1+sT/2}},}$

마지막 단계는 분자와 분모의 1차 테일러 급수 전개를 통해 얻어졌다. ${\displaystyle RC=T/2}$를 설정하여 위의 ${\displaystyle H(s)}$를 복구한다.

고역 통과 필터를 이용한 구현

고역 통과 필터를 통합한 연산 증폭기 기반 전역 통과 필터.

인접 그림에 표시된 연산 증폭기 회로는 연산 증폭기의 비반전 입력에 하이패스 필터를 특징으로 하는 단일 극성 능동 전역 통과 필터를 구현한다. 필터의 전달 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle H(s)={\frac {s-{\frac {1}{RC}}}{s+{\frac {1}{RC}}}},\,}$^[3]

여기에는 -1/RC에 하나의 극점과 1/RC에 하나의 영점이 있다 (즉, 복소평면의 허수 축을 기준으로 서로 반사된다). 일부 각진동수 ω에 대한 H(iω)의 크기 및 위상은 다음과 같다.

${\displaystyle |H(i\omega )|=1\quad {\text{and}}\quad \angle H(i\omega )=\pi -2\arctan(\omega RC).\,}$

이 필터는 모든 ω에 대해 단위-이득 크기를 갖는다. 이 필터는 각 주파수에서 다른 지연을 도입하고 ω=1/RC에서 입력-출력 직각 위상에 도달한다 (즉, 위상 선행 90°).

이 구현은 하이패스 필터를 비반전 입력에 사용하여 위상 편이 및 음성 되먹임을 생성한다.

• 높은 주파수에서 축전기는 합선이 되어 단위-이득 전압 버퍼 (즉, 위상 선행 없음)를 생성한다.
• 낮은 주파수 및 DC에서 축전기는 개방 회로이며 회로는 단위 이득을 갖는 반전 증폭기 (즉, 180° 위상 선행)이다.
• 고역 통과 필터의 코너 주파수 ω=1/RC에서 (즉, 입력 주파수가 1/(2πRC)일 때), 회로는 90° 위상 선행을 도입한다 (즉, 출력이 입력과 직각 위상이다; 출력은 입력보다 4분의 1 주기만큼 앞선 것처럼 보인다).

실제로 전역 통과 필터의 위상 편이는 비반전 입력에서 고역 통과 필터의 위상 편이의 두 배이다.

전압 제어 구현

저항은 옴 모드에서 FET로 대체하여 전압 제어 위상 변환기를 구현할 수 있다. 게이트의 전압은 위상 편이를 조정한다. 전자 음악에서는 일반적으로 페이저가 직렬로 연결된 두, 네 또는 여섯 개의 위상 편이 섹션으로 구성되며 원본과 합산된다. 저주파 발진기 (LFO)는 제어 전압을 기울여 특징적인 휘파람 소리를 생성한다.

수동 아날로그 구현

연산 증폭기와 같은 능동 부품으로 전역 통과 필터를 구현하는 이점은 유도자를 필요로 하지 않는다는 것이다. 유도자는 집적 회로 설계에서 부피가 크고 비용이 많이 든다. 유도자를 쉽게 사용할 수 있는 다른 응용 분야에서는 전역 통과 필터를 능동 부품 없이 완전히 구현할 수 있다. 이를 위해 사용할 수 있는 여러 회로 토폴로지가 있다. 다음은 가장 일반적으로 사용되는 회로이다.

격자 필터

격자 토폴로지를 사용하는 전역 통과 필터

 이 부분의 본문은 격자 위상 등화기입니다.

격자 위상 등화기 또는 필터는 격자 또는 X-섹션으로 구성된 필터이다. 단일 요소 브랜치로 최대 180°의 위상 편이를 생성할 수 있으며, 공진 브랜치로 최대 360°의 위상 편이를 생성할 수 있다. 이 필터는 정저항 회로망의 한 예이다 (즉, 영상 임피던스는 모든 주파수에서 일정하다).

T-섹션 필터

T 토폴로지를 기반으로 한 위상 등화기는 격자 필터의 비대칭 등가이며 동일한 위상 응답을 갖는다. 회로도는 저역 통과 필터처럼 보일 수 있지만, 두 인덕터 브랜치가 상호 결합되어 있다는 점에서 다르다. 이로 인해 두 인덕터 사이에 변압기 작용이 발생하고 고주파에서도 전역 통과 응답이 나타난다.

브리지드 T-섹션 필터

 이 부분의 본문은 브리지드 T 지연 등화기입니다.

브리지드 T 토폴로지는 지연 등화, 특히 스테레오 방송에 사용되는 두 유선전화 사이의 차동 지연에 사용된다. 이 응용 분야에서는 필터가 넓은 대역폭에서 주파수에 대해 선형 위상 응답 (즉, 일정한 군지연)을 가져야 하며, 이것이 이 토폴로지를 선택하는 이유이다.

디지털 구현

${\displaystyle z_{0}}$에 복소 극점을 갖는 전역 통과 필터의 Z변환 구현은 다음과 같다.

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\ }$

여기에는 ${\displaystyle 1/{\overline {z_{0}}}}$에 영점이 있으며, 여기서 ${\displaystyle {\overline {z}}}$는 켤레 복소수를 나타낸다. 극점과 영점은 같은 각도에 있지만 서로 역수 크기를 갖는다 (즉, 복소 단위원의 경계를 기준으로 서로 반사된다). 주어진 ${\displaystyle z_{0}}$에 대한 이 극점-영점 쌍의 배치는 복소평면에서 어떤 각도로든 회전할 수 있으며 전역 통과 크기 특성을 유지한다. 전역 통과 필터의 복소 극점-영점 쌍은 위상 편이가 발생하는 주파수를 제어하는 데 도움이 된다.

실수 계수를 갖는 전역 통과 구현을 생성하기 위해 복소 전역 통과 필터를 ${\displaystyle z_{0}}$ 대신 ${\displaystyle {\overline {z_{0}}}}$를 대체하는 전역 통과 필터와 캐스케이드할 수 있으며, 이는 Z변환 구현으로 이어진다.

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{-1}-{\overline {z_{0}}}}{1-z_{0}z^{-1}}}\times {\frac {z^{-1}-z_{0}}{1-{\overline {z_{0}}}z^{-1}}}={\frac {z^{-2}-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|{z_{0}}\right|^{2}}{1-2\Re (z_{0})z^{-1}+\left|z_{0}\right|^{2}z^{-2}}},\ }$

이는 다음 차분 방정식과 동등하다.

${\displaystyle y[k]-2\Re (z_{0})y[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}y[k-2]=x[k-2]-2\Re (z_{0})x[k-1]+\left|z_{0}\right|^{2}x[k],\,}$

여기서 ${\displaystyle y[k]}$는 출력이고 ${\displaystyle x[k]}$는 이산 시간 단계 ${\displaystyle k}$에서의 입력이다.

위와 같은 필터는 불안정한 또는 혼합 위상 필터와 캐스케이드하여 시스템의 크기 응답을 변경하지 않고 안정적이거나 최소 위상 필터를 생성할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle z_{0}}$의 적절한 선택을 통해 단위원 밖에 있는 불안정한 시스템의 극점을 상쇄하고 단위원 안으로 반사할 수 있다.

같이 보기

• 브리지드 T 지연 등화기
• 격자 위상 등화기
• 최소 위상
• 힐베르트 변환
• 하이패스 필터
• 로우패스 필터
• 대역 저지 필터
• 대역 필터