임계점 (집합론)

집합론에서 임계점(臨界點, 영어: critical point)은 주어진 기본 매장이 보존하지 못하는 최소의 순서수이다.

정의

집합론의 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$를 생각하자. 추이적 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$ 언어의 기본 매장 ${\displaystyle j\colon X\to Y}$를 생각하자. 또한, ${\displaystyle j}$가 ${\displaystyle N}$에 속한 집합만을 사용한 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$ 공식으로 정의된다고 하자.

그렇다면, ${\displaystyle j}$는 순서수를 순서수로 대응시킨다. 즉,

${\displaystyle j(X\cap \operatorname {Ord} )\subseteq Y\cap \operatorname {Ord} }$

이다. 또한, ${\displaystyle j}$는 순증가 함수이며, ${\displaystyle \omega }$는 그 고정점이다.

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in X\colon \alpha <\beta \implies j(\alpha )<j(\beta )}$

${\displaystyle j(\omega )=\omega }$

이 경우, ${\displaystyle j}$의 임계점은 ${\displaystyle j}$의 고정점인 최소의 순서수이다.

${\displaystyle \operatorname {crit} (j)=\min\{\alpha \in X\cap \operatorname {Ord} \colon j(\alpha )=\alpha \}}$

${\displaystyle X}$가 폰 노이만 전체 ${\displaystyle V}$라고 한다면, 기본 매장 ${\displaystyle j\colon V\to Y}$의 임계점은 항상 가측 기수이다. 즉, 가측 기수에 정의하는 극대 필터를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \{A\colon A\subseteq \operatorname {crit} (j)\in j(A)\}}$

성질

기본 매장의 임계점의 개념을 사용하여, 다음과 같은 큰 기수들을 정의할 수 있다. 아래 표에서

• ${\displaystyle \alpha }$는 임의의 순서수를 뜻한다.
• ${\displaystyle n}$은 임의의 유한 순서수를 뜻한다.
• ${\displaystyle j^{n}=\overbrace {j\circ j\circ \cdots \circ j} ^{n}}$이다.

큰 기수 개념	기본 매장 ${\displaystyle j\colon V\to M}$의 성질
가측 기수	(임의)
${\displaystyle n}$-초강기수(영어: superstrong cardinal)	${\displaystyle V_{j^{n}(\kappa )}\subseteq M}$
${\displaystyle n}$-거대 기수(영어: ${\displaystyle n}$-huge cardinal)	${\displaystyle ^{j^{n}(\operatorname {crit} (j))}M\subseteq M}$

0-거대 기수의 개념은 가측 기수의 개념과 동치이다.

이보다 약간 복잡한 예로, 다음과 같은 꼴의 큰 기수들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \kappa }$가 ~기수라는 것은, 임의의 ${\displaystyle x\in X_{\kappa }}$에 대하여, 성질 ${\displaystyle P_{x}}$를 만족시키는 추이적 모형 ${\displaystyle M}$ 및 기본 매장 ${\displaystyle j\colon V\to M}$이 존재함을 뜻한다.

큰 기수 개념	${\displaystyle X_{\kappa }}$	기본 매장 ${\displaystyle j\colon V\to M}$의 성질
초콤팩트 기수	순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$	${\displaystyle j(\kappa )>\alpha }$, ${\displaystyle ^{\alpha }M\subseteq M}$
강기수(영어: strong cardinal)	순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$	${\displaystyle V_{\alpha }\subseteq M}$
우딘 기수(영어: Woodin cardinal)	함수 ${\displaystyle f\colon \kappa \to \kappa }$	${\displaystyle \operatorname {crit} j<\kappa }$, ${\displaystyle V_{j(f)(\kappa )}\subseteq M}$, ${\displaystyle \{f(\alpha )\colon \alpha <\kappa \}\subseteq \kappa }$

외부 링크

• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Huge cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 6월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함.
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Strong cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함.
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Superstrong cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함.