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가측 기수
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집합론에서 가측 기수(可測基數, 영어: measurable cardinal)는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.
정의
요약
관점
필터와 측도
음이 아닌 확장된 실수의 집합 에 대하여, 다음을 정의하자.[1]:129, (10.10)
임의의 기수 와 -완비 불 대수 및 에 대하여, 함수 가 다음 조건들을 모두 만족시키면, 가 조건을 만족시킨다고 하자.
- 이다.
- (단조성) 라면 이다.
- (-가법성) 임의의 에 대하여, 만약 이며 임의의 에 대하여 라면, 이다.
이 조건을 만족시키는 함수 를 위의, 값의 -가법 측도(영어: -valued -additive measure on )라고 하자.
이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.
가측 기수
기수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수라고 한다.
- 크기가 인 집합 위에, 주 필터가 아닌 -완비 극대 필터가 존재한다.[1]:127, Definition 10.3[2]:26, §1.2
- 멱집합 위에, 를 만족시키는 함수 가 존재하며, 또한 임의의 에 대하여 이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
- 는 폰 노이만 전체 로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 으로 가는 기본 매장의 임계점이다.
임의의 기수 에 대하여, 만약 를 만족시키는 확률 측도 가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.
- 만약 가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 에 대하여 이다.)
그렇다면 를 실가 가측 기수(實價可測基數, 영어: real-valued measurable cardinal)라고 한다.[1]:130, Definition 10.8[2]:24, §2.1
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성질
요약
관점
함의 관계
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다.[1]:Lemma 10.18 (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.[1]:136, §10 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 이하이다.[1]:131, Corollary 10.10
논리적 성질
가측 기수 에 대하여, (크기가 미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, 에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.
울람 행렬
임의의 두 기수 가 주어졌다고 하자.
-울람 행렬은 다음 두 성질을 만족시키는 함수
이다.[1]:131, Definition 10.11; 132, (10.14)
만약 가 주어지지 않았다면, 을 뜻한다.
존재
임의의 기수 에 대하여, -울람 행렬이 존재한다.
증명:
각 에 대하여, 전사 함수
를 고르자. 그렇다면, 행렬 를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, 는 -울람 행렬을 이룬다.
- 임의의 및 에 대하여, 가 되는 유일한 는 이다.
- 각 에 대하여, 이다.
측도와의 관계
측도 의 원자(영어: atom)는 이지만 임의의 에 대하여 이 되는 원소 이다.
임의의 기수 가 주어졌다고 하자.
-울람 행렬이 존재한다면, 위의 임의의 -가법 확률 측도 는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,
인 가 존재한다.
증명:
특히, 위의 임의의 (-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선 위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.[1]:133, Corollary 10.17
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역사
가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.[4][5]
각주
외부 링크
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