가측 기수

집합론에서 가측 기수(可測基數, 영어: measurable cardinal)는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

필터와 측도

음이 아닌 확장된 실수의 집합 ${\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}$에 대하여, 다음을 정의하자.^{[1]:129, (10.10)}

${\displaystyle \sum S=\sup _{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph _{0}}\sum S'\in [0,\infty ]}$

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$와 ${\displaystyle \kappa }$-완비 불 대수 ${\displaystyle B}$ 및 ${\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}$에 대하여, 함수 ${\displaystyle \mu \colon B\to S}$가 다음 조건들을 모두 만족시키면, ${\displaystyle \mu }$가 ${\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;B,S)}$ 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \mu (\bot )=0}$이다.
• (단조성) ${\displaystyle a\leq b}$라면 ${\displaystyle \mu (a)\leq \mu (b)}$이다.
• (${\displaystyle \kappa }$-가법성) 임의의 ${\displaystyle S\subseteq B}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |S|<\kappa }$이며 임의의 ${\displaystyle s,t\in S}$에 대하여 ${\displaystyle s\land t=\bot _{B}}$라면, ${\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigvee S\right)=\sum \mu [S]}$이다.

이 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \mu }$를 ${\displaystyle B}$ 위의, ${\displaystyle S}$ 값의 ${\displaystyle \kappa }$-가법 측도(영어: ${\displaystyle S}$-valued ${\displaystyle \kappa }$-additive measure on ${\displaystyle B}$)라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.

• 측도: 시그마 대수 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의 측도 ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$는 ${\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph _{1};\Sigma ,[0,\infty ])}$를 만족시키는 함수이다.
• 극대 필터: ${\displaystyle B}$ 위의 극대 필터 ${\displaystyle U\subseteq B}$에 대하여, 함수 ${\displaystyle \mu \colon B\to \{0,1\}}$, ${\displaystyle \textstyle \mu \colon b\mapsto {\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not \in U\end{cases}}}$를 정의하면, ${\displaystyle \mu }$는 ${\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph _{0};B,\{0,1\})}$를 만족시킨다.

가측 기수

기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수라고 한다.

• 크기가 ${\displaystyle \kappa }$인 집합 위에, 주 필터가 아닌 ${\displaystyle \kappa }$-완비 극대 필터가 존재한다.^{[1]:127, Definition 10.3[2]:26, §1.2}
• 멱집합 ${\displaystyle \operatorname {Pow} (\kappa )}$ 위에, ${\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa$ ;\operatorname {Pow} (\kappa ),\{0,1\})} 를 만족시키는 함수 ${\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to \{0,1\}}$가 존재하며, 또한 임의의 ${\displaystyle \alpha \in \kappa }$에 대하여 ${\displaystyle \mu (\{\alpha \})=0}$이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
• ${\displaystyle \kappa }$는 폰 노이만 전체 ${\displaystyle V}$로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa$ ;\operatorname {Pow} (\kappa ),[0,1])} 를 만족시키는 확률 측도 ${\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to [0,1]}$가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.

• 만약 ${\displaystyle \mu }$가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 ${\displaystyle a\in \kappa }$에 대하여 ${\displaystyle \mu (\{a\})=0}$이다.)

그렇다면 ${\displaystyle \kappa }$를 실가 가측 기수(實價可測基數, 영어: real-valued measurable cardinal)라고 한다.^{[1]:130, Definition 10.8[2]:24, §2.1}

성질

함의 관계

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다.^{[1]:Lemma 10.18} (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.^{[1]:136, §10} 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ 이하이다.^{[1]:131, Corollary 10.10}

논리적 성질

가측 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle V_{\kappa }}$ (크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, ${\displaystyle V_{\kappa }}$에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 ${\displaystyle V=L}$은 거짓이다.^[3]

울람 행렬

임의의 두 기수 ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$가 주어졌다고 하자.

${\displaystyle (\lambda ,\kappa )}$-울람 행렬은 다음 두 성질을 만족시키는 함수

${\displaystyle A\colon \lambda \times \kappa \to \operatorname {Pow} (\lambda )}$

${\displaystyle A\colon (\alpha ,\beta )\mapsto A_{\alpha ,\beta }}$

이다.^{[1]:131, Definition 10.11; 132, (10.14)}

• 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 ${\displaystyle \alpha \neq \alpha '}$라면, 임의의 ${\displaystyle \beta <\lambda }$에 대하여 ${\displaystyle A_{\alpha ,\beta }\cap A_{\alpha ',\beta }=\varnothing }$
• 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는 ${\displaystyle \kappa }$ 이하이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle \alpha <\lambda }$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle |\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\lambda }A_{\alpha ,\beta }|<\kappa }$이다.

만약 ${\displaystyle (\kappa ,\lambda )}$가 주어지지 않았다면, ${\displaystyle (\kappa ,\lambda )=(\aleph _{1},\aleph _{0})}$을 뜻한다.

존재

임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )}$-울람 행렬이 존재한다.

증명:

각 ${\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}}$에 대하여, 전사 함수

${\displaystyle f_{\xi }\colon \kappa \to \xi }$

를 고르자. 그렇다면, 행렬 ${\displaystyle A_{\alpha ,\beta }}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \xi \in A_{\alpha ,\beta }\iff f_{\xi }(\beta )=\alpha }$

그렇다면, ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )}$-울람 행렬을 이룬다.

• 임의의 ${\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}}$ 및 ${\displaystyle \beta \in \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \xi \in A_{\alpha ,\beta }}$가 되는 유일한 ${\displaystyle \alpha }$는 ${\displaystyle \alpha =f_{\xi }(\beta )}$이다.
• 각 ${\displaystyle \alpha \in \kappa ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \kappa \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }=\kappa \setminus \{\xi \in \kappa ^{+}\colon \alpha <\xi \}=\min\{\alpha ,\kappa \}}$이다.

측도와의 관계

측도 ${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$의 원자(영어: atom)는 ${\displaystyle \mu (S)>0}$이지만 임의의 ${\displaystyle S'<S}$에 대하여 ${\displaystyle \mu (S')=0}$이 되는 원소 ${\displaystyle S\in \Sigma }$이다.

임의의 기수 ${\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph _{0}}$가 주어졌다고 하자.

${\displaystyle (\lambda ,\kappa )}$-울람 행렬이 존재한다면, ${\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )}$ 위의 임의의 ${\displaystyle \kappa ^{+}}$-가법 확률 측도 ${\displaystyle \Pr }$는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,

${\displaystyle \Pr(\{\alpha \})>0}$

인 ${\displaystyle \alpha \in \lambda }$가 존재한다.

증명:

${\displaystyle A}$가 울람 행렬이라고 하고, ${\displaystyle \Pr }$가 ${\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )}$ 위의 ${\displaystyle \kappa ^{+}}$-가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 ${\displaystyle \alpha \in \lambda }$에 대하여 ${\displaystyle \Pr(\{\alpha \})=0}$라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 ${\displaystyle \alpha <\lambda }$에 대하여,

${\displaystyle \Pr \left(\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=0}$

${\displaystyle \Pr \left(\bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=1}$

이다. 따라서, ${\displaystyle \Pr(A_{\alpha ,f(\alpha )})>0}$인 ${\displaystyle f(\alpha )<\kappa }$가 존재한다. 이제, 각 ${\displaystyle \beta \in \kappa }$에 대하여

${\displaystyle f^{-1}(\beta )=\{\alpha \in \lambda \colon f(\alpha )=\beta \}}$

를 생각하자. ${\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph _{0}}$이므로, ${\displaystyle f^{-1}(\beta _{0})=\lambda }$인 ${\displaystyle \beta _{0}\in \kappa }$가 존재한다.

이제,

${\displaystyle {\mathcal {U}}=(A_{\alpha ,\beta _{0}})_{\alpha \in f^{-1}(\beta _{0})}}$

는 ${\displaystyle \lambda }$ 개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.

${\displaystyle \forall m<\omega \colon {\mathcal {U}}_{m}=\{U\in {\mathcal {U}}\colon \Pr(U)>1/(m+1)\}}$

그렇다면,

${\displaystyle \bigcup _{m<\omega }{\mathcal {U}}_{m}={\mathcal {U}}}$

이므로, 이 가운데 ${\displaystyle |{\mathcal {U}}_{m_{0}}|=\lambda }$인 ${\displaystyle m_{0}\in \omega }$가 존재한다. 따라서,

${\displaystyle \Pr \left(\bigcup {\mathcal {U}}_{m}\right)=\infty }$

인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.

특히, ${\displaystyle \operatorname {Pow} (\omega _{1})}$ 위의 임의의 (${\displaystyle \sigma }$-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.^{[1]:133, Corollary 10.17}

역사

가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.^[4][5]

실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.^{[6][1]:138, §10}