초콤팩트 기수

집합론에서 초콤팩트 기수(超compact基數, 영어: supercompact cardinal)는 가측 기수보다 더 강한 폐포 성질을 갖춘 큰 기수이다. 초콤팩트 기수는 반사 성질을 보인다. 즉, 초콤팩트 기수 이상에서 일어나는 현상은 반드시 초콤팩트 기수 미만에서도 일어난다.

정의

순서수 ${\displaystyle \alpha }$ 및 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 다음 성질들을 만족시키는 추이적 모형 ${\displaystyle M}$이 존재한다면 ${\displaystyle \kappa }$를 ${\displaystyle \alpha }$-초콤팩트 기수라고 한다.

• 기본 매장 ${\displaystyle j\colon M\to V}$가 존재한다. 여기서 ${\displaystyle V}$는 폰 노이만 전체이다.
• ${\displaystyle j}$의 임계점은 ${\displaystyle \kappa }$이다.
• ${\displaystyle j(\kappa )>\alpha .}$
• 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon \alpha \to M}$에 대하여, ${\displaystyle f\in M}$이다.

초콤팩트 기수는 모든 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 ${\displaystyle \alpha }$-콤팩트한 기수이다.

성질

초콤팩트 기수는 큰 기수이다. 즉, 이러한 기수의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다.

모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

초콤팩트 기수는 반사 성질(영어: reflection property)을 보인다. 즉, 임의의 초콤팩트 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 대부분의 기수 성질에 대하여, 이 성질을 만족시키는 ${\displaystyle \kappa }$ 이상의 기수가 존재한다면, 이 성질을 만족시키는 ${\displaystyle \kappa }$ 미만의 기수 역시 존재한다. 예를 들어, 만약 일반화 연속체 가설이 ${\displaystyle \kappa }$ 미만에서 성립한다면, 이는 모든 기수에 대하여 성립한다.

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다면, ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$에 국한된 결정 공리 ${\displaystyle {\mathsf {AD}}^{L(\mathbb {R} )}}$가 성립한다.^[1] 하나의 초콤팩트 기수의 존재 대신, 무한히 많은 우딘 기수의 존재를 가정하여도 같은 결과가 성립한다.^[2][3]

같이 보기

• 강콤팩트 기수