위치 연산자

양자역학에서 위치 연산자(영어: Position operator)는 아원자 입자의 위치 관측가능량에 해당하는 연산자이다.

위치 연산자를 충분히 넓은 영역(예: 완화 분포 공간)에서 고려할 때, 그 고유값은 입자의 가능한 위치 벡터이다.^[1]

1차원에서 기호 $${\displaystyle |x\rangle }$$가 고유값 ${\displaystyle x}$에 해당하는 위치 연산자의 유니터리 고유 벡터를 나타낸다면, ${\displaystyle |x\rangle }$는 입자가 위치 ${\displaystyle x}$에서 확실히 발견된다는 입자의 상태를 나타낸다.

따라서 위치 연산자를 기호 ${\displaystyle X}$로 나타내면, 모든 실제 위치 ${\displaystyle x}$에 대해 $${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$로 쓸 수 있다.

위치 ${\displaystyle x}$를 가진 유니터리 상태의 한 가지 가능한 실현은 위치 ${\displaystyle x}$를 중심으로 하는 디랙 델타 (함수) 분포이며, 종종 ${\displaystyle \delta _{x}}$로 표기된다.

양자역학에서 모든 디랙 분포의 정렬된 (연속적인) 패밀리, 즉 패밀리 $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$ 는 (유니터리) 위치 기저라고 불리는데, 이는 완화 분포 공간에서 위치 연산자 ${\displaystyle X}$의 (유니터리) 고유 기저이기 때문이다.

모든 실수점 ${\displaystyle x}$에 대해 $${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$를 만족하는 완화 분포 공간에 오직 하나의 선형 연속 자기사상 ${\displaystyle X}$가 존재한다는 것은 중요하다. 위의 유일한 자기사상은 반드시 $${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$ 로 정의될 수 있음을 증명할 수 있으며, 여기서 ${\displaystyle \mathrm {x} }$는 모든 완화 분포 ${\displaystyle \psi }$에 대해 실수직선에서 복소평면으로 정의되는 위치 선의 좌표 함수를 나타낸다. $${\displaystyle \mathrm {x}$$ :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}

서론

어떤 시간 순간의 입자의 양자 상태를 제곱 적분 가능한 파동 함수 ${\displaystyle \psi }$로 나타낸다고 가정하자. 일단 1차원 공간(즉, 입자가 직선에 "갇혀 있다")이라고 가정하자. 만약 파동 함수가 정규화되어 있다면, 제곱 절댓값 $${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$ 는 어떤 시간에 실수직선상의 위치 ${\displaystyle x}$에서 입자를 찾을 확률 밀도를 나타낸다. 즉, 만약 $${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$ 라면, 위치 범위 ${\displaystyle [a,b]}$에서 입자를 찾을 확률은 $${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

따라서 입자의 위치 ${\displaystyle X}$ 측정에 대한 기댓값은 $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$ 여기서 ${\displaystyle \mathrm {x} }$는 좌표 함수 $${\displaystyle \mathrm {x}$$ :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,} 이며, 이는 단순히 위치 선을 복소평면으로 표준적으로 매장한 것이다.

엄밀히 말하면, 관측가능한 위치 ${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }}}$는 점별적으로 다음과 같이 정의될 수 있다. $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ 모든 파동 함수 ${\displaystyle \psi }$와 모든 실수직선상의 점 ${\displaystyle x}$에 대해. 동치류 ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$의 경우 정의는 직접적으로 다음과 같다. $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,\quad \forall \psi \in L^{2}.}$$ 즉, 위치 연산자 ${\displaystyle X}$는 임의의 파동 함수 ${\displaystyle \psi }$에 좌표 함수 ${\displaystyle \mathrm {x} }$를 곱한다.

3차원

3차원으로의 일반화는 간단하다.

시공간 파동 함수는 이제 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$이고, 상태 ${\displaystyle \psi }$에서의 위치 연산자 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$의 기댓값은 $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$ 여기서 적분은 전체 공간에 걸쳐 이루어진다. 위치 연산자는 $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

기본 속성

직선에 갇힌 입자의 경우에 대한 위 정의에서, 주의 깊은 독자는 위치 연산자의 정의역과 공역에 대한 명확한 사양이 없음을 알 수 있다. 문헌에서는 이 문제를 해결하기 위한 세 가지 주요 방향이 다소 명시적으로 발견된다.

1. 위치 연산자는 매장 ${\displaystyle \mathrm {x} }$에 의한 곱이 공간 ${\displaystyle L^{2}}$에 속하는 동치류 ${\displaystyle \psi }$로 구성된 ${\displaystyle L^{2}}$의 부분 공간 ${\displaystyle D_{X}}$에서 정의된다. 이 경우 위치 연산자 $${\displaystyle X:D_{X}\subset L^{2}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$는 연속적이지 않으며(${\displaystyle L^{2}}$의 표준 스칼라 곱에 의해 유도된 토폴로지에 대해 무한), 고유 벡터가 없고, 고유값이 없으며, 결과적으로 점 스펙트럼이 비어 있다.
2. 위치 연산자는 슈바르츠 공간 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$(즉, 모든 도함수가 빠르게 감소하는 실수직선에서 정의된 모든 매끄러운 복소 함수의 핵 공간)에서 정의된다. 이 경우 위치 연산자 $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}\subset L^{2}\to {\mathcal {S}}\subset L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$는 연속적이며(${\displaystyle {\mathcal {S}}}$의 표준 토폴로지에 대해), 단사이며, 고유 벡터가 없고, 고유값이 없으며, 결과적으로 점 스펙트럼이 비어 있다. 이는 ${\displaystyle L^{2}}$의 스칼라 곱에 대해 (완전히) 자기 수반적이다. 즉, $${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$
3. 위치 연산자는 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$의 쌍대 공간 ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$(즉, 완화 분포의 핵 공간)에서 정의된다. ${\displaystyle L^{2}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$의 부분 공간이므로, 완화 분포와 매장 ${\displaystyle \mathrm {x} }$의 곱은 항상 ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$에 속한다. 이 경우 위치 연산자 $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}^{\times }\to {\mathcal {S}}^{\times }:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$는 연속적이며(${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$의 표준 토폴로지에 대해), 전사적이며, 완전한 일반화된 고유 벡터 및 실제 일반화된 고유값 패밀리를 갖는다. 이는 전치 연산자 $${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$가 자기 수반적이라는 의미에서 ${\displaystyle L^{2}}$의 스칼라 곱에 대해 자기 수반적이다. 즉, $${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$

마지막 경우는 양자역학 문헌에서 가장 널리 채택되는 선택이지만, 명시적으로 강조된 적은 없다. 이는 고유벡터의 가능한 부재를 리그드 힐베르트 공간으로 힐베르트 공간을 확장하여 다룬다.^[2] $${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}\subset {\mathcal {S}}^{\times },}$$ 이를 통해 고유 벡터와 고유 값에 대한 수학적으로 엄밀한 개념을 제공한다.^[3]

고유 상태

(완화 분포 공간에서) 위치 연산자의 고유 함수는 위치 공간에서 표현될 때 디랙 델타 함수이다.

비형식적 증명. 위치 연산자의 가능한 고유 벡터가 반드시 디랙 델타 분포여야 함을 보이기 위해, ${\displaystyle \psi }$가 고유값 ${\displaystyle x_{0}}$를 갖는 위치 연산자의 고유 상태라고 가정하자. 우리는 고유값 방정식을 위치 좌표로 나타낸다. $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$ 여기서 ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$는 위치 표현에서 단순히 파동 함수에 함수 ${\displaystyle \mathrm {x} }$를 곱한다는 점을 상기하자. 함수 ${\displaystyle \mathrm {x} }$는 변수이고 ${\displaystyle x_{0}}$는 상수이므로, ${\displaystyle \psi }$는 점 ${\displaystyle x_{0}}$을 제외한 모든 곳에서 0이어야 한다. 분명히, 어떤 연속 함수도 이러한 속성을 만족하지 않으며, 파동 함수를 그 점에서 복소수로 단순히 정의할 수 없다. 왜냐하면 그 ${\displaystyle L^{2}}$-노름이 0이고 1이 아닐 것이기 때문이다. 이것은 점 ${\displaystyle x_{0}}$에 집중되어 있고 적분이 0이 아닌 "함수적 객체"의 필요성을 시사한다: ${\displaystyle x_{0}}$에 중심을 둔 디랙 델타의 어떤 배수. 방정식 $${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$ 의 정규화된 해는 $${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$ 또는 더 정확히는 $${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}},}$$ 로, $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ 실제로, 어떤 함수와 한 점에 중심을 둔 디랙 분포의 곱은 그 점에서의 함수의 값에 디랙 분포 자체를 곱한 것임을 상기하면, 즉시 $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ 이러한 디랙 상태는 물리적으로 실현 불가능하고, 엄밀히 말하면 함수가 아니지만, ${\displaystyle x_{0}}$에 중심을 둔 디랙 분포는 위치가 정확히 알려진 "이상적인 상태"로 생각할 수 있다 (위치 측정은 항상 고유값 ${\displaystyle x_{0}}$를 반환한다). 따라서 불확정성 원리에 따라, 이러한 상태의 운동량에 대해서는 아무것도 알려지지 않는다.

운동량 공간

일반적으로 양자역학에서 운동량 공간에서의 표현이란 표준 유니터리 운동량 기저에 대한 상태와 관측량의 표현을 의미한다. $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

운동량 공간에서 1차원 위치 연산자는 다음 미분 연산자로 표현된다. $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

여기서:

• 운동량 기저에서의 위치 연산자 표현은 모든 파동 함수 (완화 분포) ${\displaystyle \psi }$에 대해 ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$로 자연스럽게 정의된다.
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$는 운동량 선상의 좌표 함수를 나타내며, 파동 벡터 함수 ${\displaystyle \mathrm {k} }$는 ${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$로 정의된다.

L2(R, C)에서의 형식주의

1차원 공간에서 움직이는 스핀 없는 입자의 경우를 고려하자. 그러한 입자의 상태 공간은 실직선 위의 복소값, 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간인 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$를 포함한다.

위치 연산자는 다음과 같이 자기 수반 작용소로 정의된다. $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$ 정의역은 다음과 같다. $${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$ 좌표 함수 ${\displaystyle \mathrm {q}$ :\mathbb {R} \to \mathbb {C} } 는 각 점 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$를 자신에게 보낸다.^[4][5] $${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$ 각 점별로 정의된 ${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$ 및 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 대해.

정의에서 즉시 알 수 있듯이, 스펙트럼은 전체 실수직선으로 구성되며, ${\displaystyle Q}$는 엄격하게 연속 스펙트럼을 갖는다. 즉, 이산적인 고유값 집합이 없다.

3차원 경우는 유사하게 정의된다. 다음 논의에서는 1차원 가정을 유지한다.

L2(R, C)에서의 측정 이론

모든 양자역학적 관측가능량과 마찬가지로, 위치 측정을 논의하기 위해서는 위치 연산자의 스펙트럼 분해를 계산해야 한다. $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ 이는 다음과 같다. $${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$ 여기서 ${\displaystyle \mu _{X}}$는 위치 연산자의 스펙트럼 측도라고 불린다.

${\displaystyle \chi _{B}}$를 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 보렐 집합 ${\displaystyle B}$에 대한 지시 함수라고 하자. 그러면 스펙트럼 측도는 다음과 같이 주어진다. $${\displaystyle \psi \mapsto \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$ 즉, ${\displaystyle B}$의 지시 함수를 곱한 것이다.

따라서 계가 상태 ${\displaystyle \psi }$로 준비되어 있다면, 입자의 측정된 위치가 보렐 집합 ${\displaystyle B}$에 속할 확률은 다음과 같다. $${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$ 여기서 ${\displaystyle \mu }$는 실수직선상의 르베그 측도이다.

부분 집합 B 내에서 입자를 감지하기 위한 측정 후, 파동 함수는 붕괴하여 다음 중 하나가 된다. $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$ 또는 $${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$ 여기서 ${\displaystyle \|\cdot \|}$는 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$에서의 힐베르트 공간 노름이다.

같이 보기

• 위치 및 운동량 공간
• 운동량 연산자
• 병진 연산자 (양자역학)