복소수체계
와는 또 다른 복소수 체계인 해밀턴의 완성된 2성분의 순서쌍 복소수 표현





해밀턴의 3성분의 순서쌍 복소수 표현의 실패
2성분의 순서쌍을 확장하여 복소수
를 예상하면,




를 가정해서,

그리고
를 예정하면,




이렇게 해서 불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 표현은 완전하지 않다.
그러나[1]
는
오일러의 네 제곱수 항등식 



에서 각각 네번째항
의 특수한 경우이므로
불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 공식의 계수가 네 제곱수 항등식의 그것과 같고,
이로써, 4성분의 순서쌍으로 복소 표현이 확장될수있음을 예상할 수 있고,[2]
해밀턴의 완성된 확장된 복소수체계 사원수(4성분의 순서쌍)
이렇게 해서 확장시킨 복소수
를 근거로해서,[3][4]
에서
여기에
로 부터,
를 확장하면,[5]




는


을 만족하겠다.[6]