케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$의 특성 다항식을

${\displaystyle p(x)=\det(x-M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}x^{k}\in K[x]}$

라고 하자. 여기서 ${\displaystyle \det }$는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{[1]:194, §6.4, Theorem 4}

${\displaystyle p(M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}M^{k}=0}$

특히, ${\displaystyle K}$가 체일 경우 ${\displaystyle M}$의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.^{[1]:194, §6.4, Theorem 4}

증명

행렬식을 통한 증명

가환환

${\displaystyle K[M]=\{q(M)\colon q\in K[x]\}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)}$

위의 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬

${\displaystyle N\in \operatorname {Mat} (n;K[M])}$

${\displaystyle N_{ij}=\delta _{ij}M-M_{ij}\in K[M]}$

을 생각하자. 여기서 ${\displaystyle \delta _{ij}}$는 크로네커 델타이다. 열벡터의 공간 ${\displaystyle K^{n}}$의 표준 기저를 ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$라고 하고, ${\displaystyle N}$의 고전적 수반 행렬을 ${\displaystyle \operatorname {adj} N}$라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}N_{ij}e_{j}=0}$

${\displaystyle ((\operatorname {adj} N)N)_{kj}=\delta _{kj}\det N}$

${\displaystyle \det N=p(M)}$

이다. 따라서 임의의 ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}((\operatorname {adj} N)N)_{kj}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\delta _{kj}(\det N)e_{j}\\&=(\det N)e_{k}\\&=p(M)e_{k}\end{aligned}}}$

이다. 즉, ${\displaystyle p(M)=0}$이다.^{[1]:194-196, §6.3}

삼각화를 통한 증명

만약 ${\displaystyle K}$가 정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 ${\displaystyle K}$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우 ${\displaystyle K}$의 분수체의 대수적 폐포를 취하면 된다.)

우선, ${\displaystyle M}$이 상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M}$의 최소 다항식은

${\displaystyle p(x)=(x-M_{11})\cdots (x-M_{nn})}$

이다. ${\displaystyle M-M_{11}}$은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, ${\displaystyle (M-M_{11})(M-M_{22})}$는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 ${\displaystyle p(M)=0}$을 얻는다.

이제, ${\displaystyle M}$이 일반적인 행렬이라고 하자. ${\displaystyle K}$가 대수적으로 닫힌 체이므로, ${\displaystyle M}$의 최소 다항식 ${\displaystyle p(x)}$는 ${\displaystyle K}$에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle K}$에서 삼각화 가능 행렬이다. ${\displaystyle G^{-1}MG}$가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬 ${\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)}$를 취하자. 그렇다면 ${\displaystyle G^{-1}MG}$의 최소 다항식 역시 ${\displaystyle p(x)}$이므로,

${\displaystyle p(M)=Gp(G^{-1}MG)G^{-1}=0}$

이다.^{[1]:204-205, §6.4}

예

행렬의 거듭제곱

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},I_{2}^{2}=I_{2},\;A\cdot I_{2}=A\;\;\because I_{2}}$는 단위행렬(곱셈의 항등원)

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2}$

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0}$

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0}$

${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}}$

위의 식을 통해 A⁴을 계산하면 다음과 같다.

${\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}}$

${\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A}$

${\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}}$

2 × 2 역행렬

${\displaystyle A^{-1}={\frac {A-5I_{2}}{2}}~.}$

3 × 3 역행렬

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\2&1&3\\3&2&3\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-1}={\frac {A^{2}-5A-6I_{3}}{4}}~.}$