유계 변동 함수

실해석학에서 유계 변동 함수(有界變動函數, 영어: function of bounded variation)는 특정한 위치에서 변화할 수 있는 범위가 제한된 함수이다.

정의

1차원 유계 변동 함수

닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }$의 분할은 다음과 같은 수열이다.

${\displaystyle P=(p_{0},p_{1},p_{2},\dots ,p_{|P|})\qquad (a=p_{0}\leq p_{1}\leq p_{2}\leq \dotsb \leq p_{|P|}=b)}$

닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]}$의 모든 분할들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Part} ([a,b])}$라고 적자. 이는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \operatorname {Part} ([a,b])=\bigsqcup _{N=1}^{\infty }\operatorname {Part} _{N}([a,b])\cong \bigsqcup _{N=1}^{\infty }\triangle ^{N-1}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Part} _{N}([a,b])}$은 크기 ${\displaystyle N}$의 분할들의 공간이며, 이는 ${\displaystyle N-1}$차원 단체 ${\displaystyle \triangle ^{N-1}}$와 동형이다.

임의의 함수

${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$

및 분할 ${\displaystyle P\in \operatorname {Part} ([a,b])}$ 에 대하여, 변동

${\displaystyle \sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty )}$

을 정의할 수 있다. ${\displaystyle f}$의 전변동(全變動, 영어: total variation) ${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} }}$는 모든 변동들의 상한이다.^[1]:530

${\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup _{P\in \operatorname {Part} ([a,b])}\sum _{i=1}^{|P|}\|f(p_{i})-f(p_{i-1})\|\in [0,\infty ]}$

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치임을 보일 수 있다.

• ${\displaystyle \operatorname {V} (f)<\infty }$
• ${\displaystyle f=g-h}$인 두 증가 함수 ${\displaystyle g,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a\leq s\leq t\leq b\implies g(s)\leq g(t),\;h(s)\leq h(t)}$가 존재한다.
• 연속 함수의 공간 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b])}$ 위에 유계 작용소 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([a,b])\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle g\mapsto \textstyle \int g\,\mathrm {d} f}$를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

이 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다.^[1]:530

유계 변동 함수들의 공간을 ${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}$로 표기하자. 그렇다면, ${\displaystyle (\operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} ),\|-\|_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (-))}$는 노름 공간을 이룬다.

다차원 유계 변동 함수

유계 열린집합 ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$이 주어졌다고 하자. 임의의 함수 ${\displaystyle f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )}$의 전변동을 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {V} (f)=\sup _{\mathbf {g} \in X}\int _{\Omega }f(x)\nabla \cdot \mathbf {g} (x)\,\mathrm {d} x}$

여기서

${\displaystyle X=\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\operatorname {L} ^{\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}))}(0,1))\cap {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

는 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$로 구성된 공간이다.

• 연속 미분 가능 함수이다 (${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$).
• 어떤 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq \Omega }$에 대하여, ${\displaystyle \forall x\in \Omega \setminus K\colon \mathbf {g} (x)=\mathbf {0} }$이다.
• 노름이 1 이하이다. 즉, ${\displaystyle \forall x\in \Omega \colon \|\mathbf {g} (x)\|\leq 1}$이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {vol} (-)}$은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, ${\displaystyle \mathbf {g} }$의 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }}$-노름이 1 이하이다.)

그렇다면, 전변동이 유한한 함수들의 공간을 ${\displaystyle \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}$라고 하자.

${\displaystyle \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )=\{f\in \operatorname {L} ^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\colon \|f\|_{\operatorname {BV} }<\infty \}}$

그렇다면, 그 위에

${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} }=\|f\|_{\operatorname {L} ^{1}}+\operatorname {V} (f)}$

를 정의하면, 이는 바나흐 공간을 이룬다.

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 열린집합 ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f,g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}$라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle f+g\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle fg\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle (|f|+a)^{-1}\in \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )\qquad \forall a>0}$

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}$

그러나

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp}}^{0}(\Omega ,\mathbb {R} )\not \subseteq \operatorname {BV} (\Omega ,\mathbb {R} )}$

이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

전변동

만약 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}([a,b])}$일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {V} f=\int _{a}^{b}\,|f'(x)|\,\mathrm {d} x}$

마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 ${\displaystyle \Omega }$에 대하여

• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\Omega )}$가 콤팩트 집합이며,
• ${\displaystyle \partial \Omega }$가 어떤 매끄러운 다양체의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 매장이라면,

${\displaystyle f\colon \operatorname {cl} (\Omega )\to \mathbb {R} }$의 경우 ${\displaystyle f\upharpoonright \Omega }$는 유계 변동 함수이며,

${\displaystyle \operatorname {V} (f\upharpoonright \Omega )=\int _{\Omega }|\nabla f|}$

이다.

특이점

유계 변동 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$는 두 증가 함수의 차이므로, ${\displaystyle [a,b]}$의 가산 개 점을 제외한 곳에서 f는 연속이며, [a, b]의 거의 어디서나 f의 도함수가 존재한다 (르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 |f'|는 르베그 적분 가능하다.

분해 불가능성

${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}$는 분해 가능 공간이 아니다.

증명:

임의의 ${\displaystyle \alpha \in (a,b)}$에 대하여, 지시 함수

${\displaystyle 1_{[\alpha ,b]}\in \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}$

를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립함을 알 수 있다.

${\displaystyle \|1_{[\alpha ,b]}-1_{[\beta ,b]}\|_{\operatorname {BV} }=2+|\alpha -\beta |\qquad \forall \alpha ,\beta \in [a,b],\;\alpha \neq \beta }$

이제, 임의의 ${\displaystyle \alpha \in (a,b)}$에 대하여 열린 공들의 족

${\displaystyle \operatorname {ball} (1_{[\alpha ,b]},1)}$

을 생각하자. 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이루며, 따라서 ${\displaystyle \operatorname {BV} ([a,b],\mathbb {R} )}$는 분해 가능 공간이 아니다.

예

다음과 같은 함수는 ${\displaystyle [0,1]}$에서 유계 함수이고 ${\displaystyle (0,1]}$에서 연속 함수지만, ${\displaystyle [0,1]}$에서 유계 변동 함수가 아니다.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=0\\\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty }$

다음과 같은 함수는 ${\displaystyle [0,1]}$에서 유계 함수이고 ${\displaystyle [0,1]}$에서 연속 함수지만 ${\displaystyle [0,1]}$에서 유계 변동 함수가 아니다.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|\sin x^{-1}-x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x=\infty }$

다음과 같은 함수는 ${\displaystyle [0,1]}$에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=0\\x^{2}\sin(1/x)&x\neq 0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} (f)=\int _{0}^{1}|2x\sin x^{-1}-\cos x^{-1}|\,\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}(2x+1)\,\mathrm {d} x=2}$

같이 보기

• 르베그 공간
• 라돈 측도
• 전변동
• 이차변동성
• 전변동 잡음제거
• 전변동 점감