유니모듈러 격자

유니모듈러 격자(영어: unimodular lattice)는 행렬식이 ±1인 격자이다.

정의

격자(영어: lattice) ${\displaystyle (L,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle L}$은 자유 유한 생성 아벨 군이다.
• ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon L\times L\to \mathbb {Z} }$는 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식이다.

유니모듈러 격자는 다음 조건을 만족시키는 격자 ${\displaystyle (L,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$이다.

• ${\displaystyle L}$이 ${\displaystyle n}$차원이라고 하자. ${\displaystyle L}$의 기저 ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{n}\}}$을 잡았을 때, ${\displaystyle n\times n}$ 대칭 정수행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {Z} )}$을 ${\displaystyle (M)_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$로 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle \det M=\pm 1}$이다. (행렬 ${\displaystyle M}$은 기저의 선택에 따라 달라지지만, 그 행렬식은 바뀌지 않는다.)

짝 유니모듈러 격자(영어: even unimodular lattice)는 모든 ${\displaystyle v\in L}$에 대하여 ${\displaystyle \langle v,v\rangle }$이 짝수인 격자다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자를 홀 유니모듈러 격자(영어: odd unimodular lattice)라고 한다.

분류

유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류가 있다. 부호수가 ${\displaystyle (m,n)}$인 부정부호 격자 ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} ^{m,n}}$의 경우, (동형을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자

${\displaystyle I_{m,n}}$

가 존재한다. 구체적으로 이는 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{m+n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건은

${\displaystyle m\equiv n{\pmod {8}}}$

이며, 이 경우 (동형을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자

${\displaystyle II_{m,n}}$

가 존재한다. 이는 구체적으로

${\displaystyle \{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{m+n}\colon 2a_{i}\in \mathbb {Z} ,\;\sum _{k}a_{k}/2\in \mathbb {Z} \}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$

이다. 또한, ${\displaystyle II_{8,0}}$은 E₈ 격자와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.

• 7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 ${\displaystyle I_{n,0}}$가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
• 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 E₈ 격자가 존재하며, 이는 E₈ 리 군의 근계로 생성된다.
• 8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 ${\displaystyle E_{8}\oplus E_{8}}$과
• 24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 니마이어 격자(영어: Niemeier lattice)라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 리치 격자 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었고, 다음과 같다. 홀 유니모듈러 격자의 수는 (OEIS의 수열 A054911), 짝 유니모듈러 격자의 수는 (OEIS의 수열 A054909)이다.

차원	홀격자	근이 없는 홀격자	짝격자	근이 없는 짝격자
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (E8 격자)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 (E82, D16+)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (짧은 리치 격자)
24	273	1 (홀 리치 격자)	24 (니마이어 격자)	1 (리치 격자)
25	665	0
26	≥2307	1
27	≥14179	3
28	≥327972	38
29	≥37938009	≥8900
30	≥20169641025	≥82000000
31	≥5000000000000	≥800000000000
32	≥80000000000000000	≥10000000000000000	≥1160000000	≥10900000

참고 문헌

• Conway, J.H.; N. J. A. Sloane. 《Sphere packings, lattices and groups》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 290 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. ISBN 0-387-98585-9. ISSN 0072-7830. Zbl 0915.52003. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Milnor, J.; D. Husemoller (1973). 《Symmetric Bilinear Forms》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 73. Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Serre, Jean-Pierre (1973). 《A Course in Arithmetic》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 7. Springer. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001.