E₈

리 군론에서 E₈은 복소수 예외적 단순 리 군 가운데 가장 큰 것이다.^[1][2][3] 다른 모든 예외적 단순 복소 리 군을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해(split), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.

E₈의 딘킨 도표

정의

E₈은 다양한 방법으로 정의할 수 있다.

SO(16)을 통한 정의

E₈의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$은 다음과 같이 정의될 수 있다.^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$의 고전적인 부분 리 대수 가운데 가장 큰 것은 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}$이므로, 이를 써서 정의하자. 이 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\supsetneq {\mathfrak {o}}(16)}$에 의하여, ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$의 248차원 딸림표현은 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}$의 ${\displaystyle \textstyle {\binom {16}{2}}=120}$차원 딸림표현과 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(16)}$의 ${\displaystyle 2^{16/2-1}=128}$차원 마요라나-바일 스피너로 분해된다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Spin} (16)}$의 스피너 공간을 ${\displaystyle V}$라고 할 때,

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}={\mathfrak {so}}(16;\mathbb {R} )\oplus V}$

가 된다.

구체적으로, ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(16)}$의 생성원을 ${\displaystyle J_{ij}}$로 표현하자. 스핀 군 Spin(16)은 마요라나-바일 스피너 ${\displaystyle Q_{a}}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle [J_{ij},J_{k\ell }]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}}$

${\displaystyle [J_{ij},Q_{a}]={\frac {1}{4}}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})_{ab}Q_{b},}$

여기서 ${\displaystyle \gamma _{i}}$는 16차원 디랙 행렬이다.

이제, 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle [Q_{a},Q_{b}]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}}$

이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기 동형군으로 정의할 수 있다.

콤팩트 형식 대신, 다른 실수 형식도 위와 같이 정의될 수 있다. SO(16)의 총 10개의 실수 형식 (${\displaystyle \operatorname {SO} (0,16),\dotsc ,\operatorname {SO} (8,8),\operatorname {SO} ^{*}(16)}$) 가운데, 128차원 마요라나-바일 스피너를 가질 필요 충분 조건은 부호수 ${\displaystyle (p,q)}$에 대하여 ${\displaystyle p\equiv q{\pmod {8}}}$인 것이다. 즉, 이 조건을 만족시키는 것은 ${\displaystyle (p,q)\in \{(0,16),\;(4,12),\;(8,8)\}}$ 밖에 없다. 로마자 부호로 이들은

${\displaystyle \operatorname {SO} (16)={\mathsf {D}}_{8(-120)}}$ (콤팩트)

${\displaystyle \operatorname {SO} (4,12)={\mathsf {D}}_{8(-24)}}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (8,8)={\mathsf {D}}_{8(8)}}$ (분할)

이며, 이들은 각각 E₈의 세 실수 형식 E_8(−248) (콤팩트), E₈₍₋₂₄₎, E₈₍₈₎ (분할)에 대응한다.

기타 정의

E₈은 팔원수를 사용하여 정의할 수 있다.^[5]:§4.6

15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.^[6]

실수 형식

E₈은 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군	극대 콤팩트 리 부분군	사타케 도표	보건 도표
E8(−248)		콤팩트 형식	1	1	E8(−248)	${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\circ }$
E8(8)	EⅧ	갈린(split) 형식	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	1	PSpin(16)	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\circ }$	${\displaystyle \bullet -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\circ }$
E8(−24)	EⅨ		${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	1	(E7×SU(2)) / (−1,−1)	${\displaystyle \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\circ -\circ -\circ }$	${\displaystyle \circ -\circ -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ }}-\circ -\circ -\circ -\bullet }$

성질

대수적 성질

E₈의 주요 극대 부분군들은 다음을 들 수 있다.

• ${\displaystyle (E_{7}\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)}$.^[3]:§5.7 이는 E₈의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\circ \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\circ -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad {\scriptstyle \otimes }}$

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} (16)/(\mathbb {Z} /2)}$.^[3]:§5.7 이는 E₈의 또다른 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \circ -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}$

• ${\displaystyle (E_{6}\times \operatorname {SU} (3))/(\mathbb {Z} /3)}$.^[3]:§5.10 이는 E₈의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /3}$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\circ -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\circ -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet \qquad \bullet -{\scriptstyle \otimes }}$

• ${\displaystyle \operatorname {SU} (9)/(\mathbb {Z} /3)}$.^[3]:§5.11 이는 E₈의 또다른 ${\displaystyle \mathbb {Z} /3}$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}$

• ${\displaystyle (\operatorname {SU} (5)\times \operatorname {SU} (5))/(\mathbb {Z} /5)}$.^[3]:§5.12 이는 E₈의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\circ -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\circ -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}\qquad \bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}$

위상수학적 성질

E₈의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.^[7]

${\displaystyle \pi _{3}(E_{8})\cong \pi _{15}(E_{8})\cong \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \pi _{n}(E_{8})\cong 0,\qquad n<15,n\neq 3}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$의 불변 다항식의 차수는 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30이다. 즉, E₈의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 15차 · 23차 · 27차 · 35차 · 39차 · 47차 · 59차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

근계

E₈의 8차원 근계를 2차원으로 사영한 것. E₈의 240개의 근들은 고른 폴리토프 4₂₁을 이룬다.

E₈의 근계는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E₈의 SO(16) 부분군을 사용하면, E₈ 근계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 다음과 같은 꼴의 ${\displaystyle 2\cdot \textstyle {\binom {8}{2}}+8\cdot 7=112}$개의 근 (이는 SO(16) 근계를 이룬다):

  ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0)}$의 모든 순열 (복부호 동순일 필요 없음)

• 다음과 같은 꼴의 ${\displaystyle 2^{8}/2=128}$개의 근 (이는 SO(16)의 128 스피너 표현의 무게를 이룬다):

  ${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)}$ (복부호 동순일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 것들

E₈의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 고른 폴리토프 4₂₁의 꼭짓점을 이룬다.

E₈의 바일 군은 크기가 2¹⁴×3⁵×5²×7=696729600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (E_{8})\cong \operatorname {O} ^{+}(8;\mathbb {F} _{2})}$

이는 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$를 크기가 174182400인 유일한 단순군 ${\displaystyle \operatorname {PS\Omega } ^{+}(8;\mathbb {F} _{2})}$로 확대한 뒤, 다시 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$로 확대한 것이다.^[8]:85

E₈의 딘킨 도표는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 (영어: simply laced). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.

${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$

E₈의 아핀 딘킨 도표는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표기한 꼭짓점이 추가된다.

${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\scriptstyle \otimes }$

표현론

E₈의 기약 표현의 차원은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121732).^{[9]:113, Table 53}

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960…

E₈의 바일 군은 ${\displaystyle v\mapsto -v}$를 포함하므로, E₈은 복소수 표현을 갖지 않으며, 또한 E₈의 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E₈은 사원수 표현을 갖지 않는다.

E₈의 기본 표현은 248, 3875, 30380 , 147250, 6696000, 2450240, 146325270, 6899079264이다. 이 가운데 가장 작은 248은 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.^{[9]:112, Table 53}

${\displaystyle \mathbf {3875} -\mathbf {6696000} -{\overset {\displaystyle \mathbf {147250} \atop \displaystyle |}{\mathbf {6899079264} }}-\mathbf {146325270} -\mathbf {2450240} -\mathbf {30380} -\mathbf {248} }$

E₈의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.^{[9]:112, Table 53}

${\displaystyle \mathbf {248} _{E_{8}}\to (\mathbf {133} ,\mathbf {1} )_{E_{7}\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {3} )_{E_{7}\times \operatorname {SU} (2)}\oplus (\mathbf {56} ,\mathbf {2} )_{E_{7}\times \operatorname {SU} (2)}}$

${\displaystyle \mathbf {248} _{E_{8}}\to (\mathbf {78} ,\mathbf {1} )_{E_{6}\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {8} )_{E_{6}\times \operatorname {SU} (3)}\oplus (\mathbf {27} ,\mathbf {3} )_{E_{6}\times \operatorname {SU} (3)}\oplus ({\overline {\mathbf {27} }},{\overline {\mathbf {3} }})_{E_{6}\times \operatorname {SU} (3)}}$

${\displaystyle \mathbf {248} _{E_{8}}\to \mathbf {120} _{\operatorname {SO} (16)}\oplus \mathbf {128} _{\operatorname {SO} (16)}}$

${\displaystyle \mathbf {248} _{E_{8}}\to \mathbf {80} _{\operatorname {SU} (9)}\oplus \mathbf {84} _{\operatorname {SU} (9)}\oplus {\overline {\mathbf {84} }}_{\operatorname {SU} (9)}}$

${\displaystyle \mathbf {248} _{E_{8}}\to (\mathbf {24} ,\mathbf {1} )_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus (\mathbf {1} ,\mathbf {24} )_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus (\mathbf {5} ,{\overline {\mathbf {10} }})_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus ({\overline {\mathbf {5} }},\mathbf {10} )_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus (\mathbf {10} ,\mathbf {5} )_{\operatorname {SU} (5)^{2}}\oplus ({\overline {\mathbf {10} }},{\overline {\mathbf {5} }})_{\operatorname {SU} (5)^{2}}}$

대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}(\mathbb {Z} )}$ 및 군 ${\displaystyle E_{8}(\mathbb {Z} )}$을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$에 대한 계수의 슈발레 군 ${\displaystyle E_{8}(\mathbb {F} _{q})}$의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle |E_{8}(\mathbb {F} _{q})|=q^{120}(q^{30}-1)(q^{24}-1)(q^{20}-1)(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^{8}-1)(q^{2}-1)}$

이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A008868)

${\displaystyle |E_{8}(\mathbb {F} _{2})|\approx 3.38\times 10^{74}}$

${\displaystyle |E_{8}(\mathbb {F} _{3})|\approx 1.88\times 10^{118}}$

${\displaystyle |E_{8}(\mathbb {F} _{2})|}$는 이미 괴물군보다 더 크며, 이는^[8] 에 수록된 마지막 군이다.

역사

빌헬름 킬링이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지 않았다. 엘리 카르탕이 1894년 박사 학위 논문^[10]에서 그 존재를 엄밀히 증명하였으며, E₈이 세 실수 형식을 지님을 보였다.

응용

잡종 끈 이론은 변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E₈×E₈의 게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E₈은 E₆, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형 및 대통일 이론을 재현할 수 있다. 이를 축소화하면 두 E₈ 가운데 하나는 자연스럽게 E₆로 깨지게 된다.

같이 보기

• E₆
• E₇
• 잡종 끈 이론