이름 (강제법)

집합론에서 이름(영어: name)은 강제법에 등장하는, 집합의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수의 원소에 따라 나타내어진다.

정의

이름

임의의 집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

${\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)}$

에 대한 누적 위계를 ${\displaystyle X}$-이름 위계(영어: hierarchy of ${\displaystyle X}$-names)라고 하며,^{[1]:188, Definition VII.2.5} ${\displaystyle \operatorname {Name} _{X,\alpha }}$로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름 ${\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Name} _{X}}$에 대하여, ${\displaystyle \sigma \in \tau }$의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 ${\displaystyle X}$의 부분 집합으로 나타내어진다.

${\displaystyle \{x\in X\colon (\sigma ,x)\in \tau \}}$

즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 ${\displaystyle \{\top ,\bot \}}$ 대신 불 대수 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$로 나타내어진다.

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Name} _{X,\alpha }\to {\mathcal {P}}(\operatorname {Name} _{X,\alpha })}$

${\displaystyle \operatorname {dom} (\tau )=\{\sigma \colon (\sigma ,x)\in X\}}$

좋은 이름

원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$와 ${\displaystyle P}$-이름 ${\displaystyle \tau }$가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 ${\displaystyle f\colon \operatorname {dom} \tau \to {\mathcal {P}}(X)}$의 치역의 모든 원소가 ${\displaystyle P}$의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.

${\displaystyle \sigma =\{(\tau ',x)\colon \tau '\in \operatorname {dom} \tau ,\;x\in f(\tau ')\}}$

이러한 꼴의 이름을 ${\displaystyle \tau }$에 대한 좋은 이름(영어: nice name)이라고 한다.^{[1]:208, Definition VII.5.11}

특히, ${\displaystyle \tau }$에 대한 좋은 이름 ${\displaystyle \sigma }$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {dom} \sigma \subseteq \operatorname {dom} \tau }$

성질

범주론적 성질

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }$는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle \operatorname {Name} _{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}}$

이다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle \operatorname {Rel} }$이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Rel} \to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle \operatorname {Name} _{R,\alpha }\colon \sigma \mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{R,\beta }(\tau ),y\right)\colon (\tau ,x)\in \sigma ,\;(x,y)\in R\}}$

임의의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$ 및 한원소 집합 ${\displaystyle \{\bullet \}}$에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 ${\displaystyle R_{S}}$를 생각하자.

${\displaystyle (x,\bullet )\in R_{S}\iff x\in S}$

그렇다면, 함수

${\displaystyle \operatorname {Name} _{R_{S}}\colon \operatorname {Name} _{X}\to \operatorname {Name} _{\{\bullet \}}\cong V}$

를 생각하자. 이를 ${\displaystyle X}$-이름의 ${\displaystyle S}$-해석이라고 하며,

${\displaystyle \operatorname {val} _{S}\colon \operatorname {Name} _{X}\to V}$

로 표기한다.^{[1]:189, Definition VII.2.7}

강제법에서, ${\displaystyle \operatorname {val} _{S}(u)}$는 포괄적 순서 아이디얼 ${\displaystyle S}$를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

모형 이론적 성질

이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.^{[1]:188, §VII.2} 즉, ZFC의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle X\in M}$ 및 집합 ${\displaystyle \tau \in M}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left(M\models (\tau \in \operatorname {Name} _{X})\right)\iff \tau \in \operatorname {Name} _{X}}$

다시 말해, ${\displaystyle (\operatorname {Name} _{X})^{M}=\operatorname {Name} _{X}\cap M}$이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다.^[1]

ZFC의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle M}$ 및 원순서 집합 ${\displaystyle X\in M}$ 및 두 이름 ${\displaystyle \mu ,\sigma \in M\cap \operatorname {Name} _{X}}$에 대하여, 다음이 성립하는 ${\displaystyle \sigma }$-좋은 이름 ${\displaystyle \tau }$가 존재한다.

${\displaystyle \forall x\in X\colon x\Vdash (\mu \subseteq \sigma \implies \mu =\tau )}$

다시 말해, 임의의 ${\displaystyle X}$의 포괄적 순서 아이디얼 ${\displaystyle G}$ 및 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Name} _{X}\cap M}$ 및 ${\displaystyle S\in {\mathcal {P}}(\operatorname {val} _{G}(\sigma ))\cap M[G]}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )=S}$인 ${\displaystyle \sigma }$-좋은 이름 ${\displaystyle \tau }$가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 ${\displaystyle \tau }$가 ${\displaystyle \sigma }$-좋은 이름일 때, ${\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )\subseteq \operatorname {val} _{G}(\sigma )}$일 필요는 없다.^[1]:209)

예

만약 ${\displaystyle X}$가 공집합이라면 ${\displaystyle \operatorname {Name} _{\varnothing }=\{\varnothing \}}$이다.

만약 ${\displaystyle X}$가 한원소 집합이라면 ${\displaystyle Q}$는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다.