이중 장론

이론물리학에서 이중 장론(二重場論, 영어: double field theory, DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다.^[1] 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여, ${\displaystyle d}$차원 시공간을 묘사하기 위하여 ${\displaystyle 2d}$차원의 매끄러운 다양체를 사용한다.

전개

시공간

일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

• ${\displaystyle D}$차원 실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 및 그 위의 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle \eta \colon V\to \mathbb {R} }$
• 두 리 군 ${\displaystyle H\leq G\leq \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )}$. 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}H&\to &G\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {O} (V,\eta )&\to &\operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )\end{matrix}}}$

• ${\displaystyle D}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 및 그 접다발의 구조군 ${\displaystyle G}$. 즉, 어떤 ${\displaystyle G}$-주다발 (틀다발) ${\displaystyle F_{G}}$ 및 벡터 다발의 동형 사상 ${\displaystyle F_{G}\times _{G}\mathbb {R} ^{N}\to \mathrm {T} M}$이 주어져 있다.
• 접다발의, ${\displaystyle H}$로의 구조 축소. 즉, ${\displaystyle H}$-주다발 ${\displaystyle F_{H}}$ 및 벡터 다발의 동형 사상 ${\displaystyle E\colon F_{H}\times _{H}V\to \mathrm {T} M}$.

${\displaystyle M}$의 접다발 지표를 ${\displaystyle M,N,\dotsc }$, ${\displaystyle V}$의 지표를 ${\displaystyle A,B,\dotsc }$로 표기하면, ${\displaystyle E}$의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {T} _{x}M\to V}$

${\displaystyle X^{M}\mapsto E_{M}^{A}X^{M}}$

이제, ${\displaystyle E}$는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조 ${\displaystyle G_{MN}}$를 정의한다. (그 부호수는 ${\displaystyle \eta }$의 부호수와 같다.)

${\displaystyle G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}}$

이제, ${\displaystyle E}$에 다음과 같은 ${\displaystyle H}$-게이지 대칭을 부여하자.

${\displaystyle E^{A}{}_{M}\mapsto T^{A}{}_{B}E_{M}^{B}\qquad (T\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,H))}$

그렇다면, ${\displaystyle E}$는 각 점에서 물리적으로 동차 공간

${\displaystyle {\frac {G}{H}}}$

의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서 ${\displaystyle G_{MN}}$는 (${\displaystyle H\leq \operatorname {O} (V,Q)}$이므로) 게이지 불변이다.

이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

이론	${\displaystyle G}$	${\displaystyle H}$	${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(G/H)}$	물리적 해석
일반 상대성 이론	${\displaystyle \operatorname {GL} (D;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \operatorname {O} (1,D-1)}$	${\displaystyle D(D+1)/2}$	로런츠 계량 텐서 ${\displaystyle G_{MN}}$
이중 장론 (${\displaystyle D=2d}$)	${\displaystyle \operatorname {O} (d,d)}$	${\displaystyle \operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}$	${\displaystyle d^{2}}$	${\displaystyle d}$차원 계량 텐서 및 ${\displaystyle d}$차원 2차 미분 형식

즉, ${\displaystyle G/H=\operatorname {GL} (D)/\operatorname {O} (1,D-1)}$인 경우는 ${\displaystyle D}$차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면, ${\displaystyle G/H=\operatorname {O} (d,d)/\operatorname {O} (1,d-1)^{2}}$인 경우, 이는 ${\displaystyle d^{2}}$개의 성분을 가지며, 이는 ${\displaystyle d\times d}$ 대칭 행렬(중력장)과 ${\displaystyle d\times d}$ 반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다.

계량의 분해

구체적으로, 필바인 ${\displaystyle E_{M}^{A}}$에 의하여 정의되는 계량 텐서

${\displaystyle G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}}$

를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다.

편의상, ${\displaystyle \eta _{AB}}$를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}0&1_{d\times d}\\1_{d\times d}&0\end{pmatrix}}}$

즉, 이는 분해

${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$

${\displaystyle \dim V_{+}=\dim V_{-}=d}$

${\displaystyle \eta _{\pm }\colon V_{\pm }\to V_{\mp }^{*}}$

를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)

${\displaystyle V}$는 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}$의 마찬가지 분해

${\displaystyle \mathrm {T} M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}$

를 정의한다.

이러한 게이지에서, ${\displaystyle \operatorname {O} (d,d)}$의 원소

${\displaystyle H^{N}{}_{P}\in \operatorname {O} (d,d)}$

${\displaystyle \eta _{MN}H^{N}{}_{P}={\begin{pmatrix}g^{-1}&-g^{-1}b\\bg^{-1}&g-bg^{-1}b\end{pmatrix}}\in \operatorname {O} (d,d)}$

를 정의할 수 있다. 여기서, ${\displaystyle g}$는 중력장을 나타내며, ${\displaystyle b}$는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다.

이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면, ${\displaystyle \eta }$ 및 ${\displaystyle H}$와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만,^[1]:§4.2 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며,^{[1]:§4.2, Table 1} 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다.

필바인

일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다.^{[1]:(3.52), (3.53)} 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다.

${\displaystyle E\in {\frac {\operatorname {O} (d,d)}{\operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}$은 ${\displaystyle \operatorname {O} (d,d)}$의 블록 대각 행렬 부분군이다.

즉, 이는 대표원

${\displaystyle E_{M}^{A}\in \operatorname {O} (d,d)}$

에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환

${\displaystyle E_{M}^{A}\mapsto L^{A}{}_{B}E_{M}^{A}\qquad (L^{A}{}_{B}\in \operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,D-1))}$

을 겪는다. 여기서 ${\displaystyle A,B,\dotsc }$는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는

${\displaystyle H_{MN}=E^{A}{}_{M}H_{AB}E^{B}{}_{N}}$

이다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 일반화 바이첸뵈크 접속(영어: generalized Weitzenböck connection)을 정의할 수 있다.^[1]:(3.59)

${\displaystyle \Omega _{ABC}=-\Omega _{ACB}=E_{A}{}^{M}\partial _{M}(E_{B}{}^{N}E_{C}{}^{P}\eta _{PN})}$

작용

이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.^[1]:(3.60)

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{2D}x\,\exp(-2\phi )(S_{1}+S_{2})}$

여기서

${\displaystyle S_{1}=9\Omega _{[ABC]}\Omega _{[DEF]}\left({\frac {1}{4}}H^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}-{\frac {1}{12}}H^{AD}H^{BE}H^{CF}-{\frac {1}{6}}\eta ^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}\right)+\exp(2\phi )(\eta ^{AB}-H^{AB})}$

${\displaystyle S_{2}=F_{A}F_{B}(\eta ^{AB}-H^{AB})}$

${\displaystyle F_{A}=\eta ^{BC}\Omega _{BCA}+2E_{A}{}^{M}\partial _{M}\phi }$

여기서 ${\displaystyle \phi }$는 딜라톤 스칼라장이다. 이는 ${\displaystyle M}$ 위의, ${\displaystyle \operatorname {O} (d,d)}$ 구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.

장방정식

위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.^[1]:(3.81)

${\displaystyle S_{1}=0}$

${\displaystyle 2(H^{C[A}-\eta ^{D[C})\partial ^{B]}F_{C}+(F_{C}-\partial -C)F^{C[AB]}+F^{CD[A}F_{CDE}\eta ^{B]E}=0}$

이들은 각각 ${\displaystyle \phi }$ 및 ${\displaystyle E_{A}{}^{M}}$에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.

단면 조건

${\displaystyle M}$ 위의 장들은 ${\displaystyle 2d}$ 차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은 ${\displaystyle d}$차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 단면 조건(영어: section condition)이라고 하며, 스칼라장 ${\displaystyle \Phi }$에 대하여 다음과 같은 꼴이다.^{[1]:(3.29), (3.30)}

${\displaystyle \eta ^{MN}\partial _{M}\partial _{N}\Phi =0}$

역사

워런 시걸(영어: Warren Siegel)이 1993년에 도입하였다.^[2][3]