크리스토펠 기호

크리스토펠 기호(Christoffel記號, 독일어: Christoffelsymbole, 영어: Christoffel symbol)는 레비치비타 접속의 성분을 나타내는 기호다. 레비치비타 접속으로 정의된 공변 미분과 주어진 좌표에 대한 편미분의 차로 생각할 수 있다. 기호는 그리스 대문자 감마(Γ)다. 간혹 제1종 및 제2종 크리스토펠 기호를 구분하기도 한다. 이름과는 달리, 제2종이 더 근본적인 개념이다.

의의

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$를 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle \nabla g=0}$이고 꼬임이 없는 유일한 아핀 접속 ${\displaystyle \nabla }$가 존재한다.이를 레비치비타 접속(Levi-Civita connexion)이라고 부른다.

정의

국소 좌표계 xⁱ, (i = 1, 2, ..., n)가 n차원 다양체 M위에 주어지고, 그 계량 텐서가 ${\displaystyle g}$일 때, 그 접벡터

${\displaystyle \mathrm {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}=\partial _{i},\quad i=1,2,\dots ,n}$

에 의해 접공간 M의 정의역 각 점에서 국소 좌표계의 기저가 정의된다.

제1종 크리스토펠 기호

제1종 크리스토펠 기호는 제2종 크리스토펠 기호와 계량 텐서로부터 유도되어

${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}\Gamma ^{d}{}_{ab}\,,}$

처럼 정의될 수 있으며, 또는 그 자체로써,

${\displaystyle \Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)={\frac {1}{2}}\,(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c})={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.}$

처럼 정의될 수도 있다^[1].

다른 표기 방법으로

${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$

로 표기하기도 한다. ^[2][3][4]

${\displaystyle [ab,c]=[ba,c]}$라는 점은 주목할 필요가 있다.^[5]

제2종 크리스토펠 기호

제2종 크리스토펠 기호는 한 좌표 기저에서 레비치비타 접속의 접속 계수이며, 이 접속은 비틀림이 0이기 때문에, 그 기저의 접속 계수 또한 대칭이다. 다시 말해,

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ji}\,}$

이 성립한다.^[3] 그런 이유에서 비틀림 없는 접속을 흔히 ‘대칭’이라고 한다.

다시 말해서 제2종 크리스토펠 기호 ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$는 (때로는 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ 또는 ${\displaystyle \{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}}$로도 표기한다^[6][3])

${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathrm {e} _{k}}$

가 성립되는 유일한 접속으로 정의되는데 여기서 ${\displaystyle \nabla _{i}}$ M에서 좌표방향 ${\displaystyle \mathrm {e} _{i}}$로의 레비치비타 접속이며, 이것은 ${\displaystyle \nabla _{i}\equiv \nabla _{\mathrm {e} _{i}}}$일 때를 뜻하고, ${\displaystyle \mathrm {e} _{i}=\partial _{i}}$는 국소 좌표의 홀로노믹 기저이다^[2][3].

크리스토펠 기호는 공변 미분과 계량 텐서 ${\displaystyle g_{ik}\ }$에 의해 표현될 수 있는데,

${\displaystyle 0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-2g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }}$

이다.

더 짧은 표기법으로, 나블라 기호와 편미분 기호를 생략하여, 세미콜론과 콤마와 미분하는 첨자를 표기하여

${\displaystyle 0=\,g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }}$

와 같이도 쓴다.

아래 두 첨자에 대해 대칭이라는 점을 이용하여, 크리스토펠 기호를 계량 텐서의 함수로 나타낼 수 있는데,

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m})}$

이고^[5], 여기서 ${\displaystyle (g^{jk})}$는 ${\displaystyle (g_{jk})\,}$의 역행렬이고, 크로네커 델타와 아인슈타인 표기법을 사용하면 ${\displaystyle g^{ji}g_{ik}=\delta ^{j}{}_{k}\ }$인 것이다.

크리스토펠 기호는 텐서와 같은 방식으로 표기되지만, 텐서는 아니다.^[7] 좌표변환에 대해서 텐서처럼 행동하지 않는다.

역사

독일의 엘빈 브루노 크리스토펠이 1869년에 도입하였다.^[8][9]

같이 보기

• 리치 곡률 텐서
• 슈바르츠실트 해