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자기 수반 작용소
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작용소 이론에서 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator) 또는 자기 수반 연산자는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다.[1] 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.
정의
요약
관점
-힐베르트 공간 위의 조밀 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 위의 자기 수반 작용소라고 한다.
- 대칭 작용소이며, 이다.
- 임의의 에 대하여, 이다. 또한, 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
- 특히, 임의의 에 대하여, 는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 로 유일하게 확장된다.
- 이며, 모든 에 대하여 이다. 여기서 는 에르미트 수반이다.
- 그래프 및 심플렉틱 사상 , 에 대하여, 이다.
- 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 과 가측 함수 과 전단사 유니터리 작용소 가 존재한다. (여기서 는 와의 점별 곱셈이다.)
마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(영어: multiplication operator)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.
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성질
단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.[1]:65
유한 차원 힐베르트 공간 위의 작용소 에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
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대칭 확장
요약
관점
대칭 작용소 의 자기 수반 확장(영어: self-adjoint extension)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 이다.
대칭 연산자 의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.[1]:81–84
(은 의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히, 가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은
이다. 양변의 두 수를 의 결점 지표(영어: deficiency index)라고 한다.
유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소(영어: essentially self-adjoint operator)라고 한다.
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예
요약
관점
제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간
을 생각하자. 이 위에서, 작용소
를 생각하자. 만약 가 제곱 적분 가능 함수라도 가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, 는 전체에 정의될 수 없다. 즉,
이다. 이는 의 조밀 부분 공간이며, 임의의 에 대하여
이다. 따라서 는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 에 대하여, 만약
라고 하자. 즉,
이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서
이므로, 정의에 따라 이게 된다. 즉, 는 자기 수반 작용소이다.
곱셈 연산자
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 위에 작용소
를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
- 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
- 임의의 -힐베르트 공간 및 자기 수반 작용소 에 대하여, 이자 가 되는 측도 공간 와 가측 함수 와 (전단사) 유니터리 작용소 가 존재한다.
특히, 만약 이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값
들은 모두 실수이다. 이 경우
가 된다.
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같이 보기
각주
외부 링크
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