자기 수반 작용소

작용소 이론에서 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator) 또는 자기 수반 연산자는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다.^[1] 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$ 위의 조밀 부분 집합 ${\displaystyle D\subseteq H}$가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환

${\displaystyle A\colon D\to H}$

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 ${\displaystyle D}$ 위의 자기 수반 작용소라고 한다.

${\displaystyle A\colon D\to H}$

• 대칭 작용소이며, ${\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in D}$에 대하여, ${\displaystyle \langle x|A|y\rangle =\langle Ax|y\rangle }$이다. 또한, 임의의 ${\displaystyle x,y\in H}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \langle x|A=\langle y|\colon H\to \mathbb {K} }$라면, ${\displaystyle x\in D}$이다.
  • 특히, 임의의 ${\displaystyle x\in D}$에 대하여, ${\displaystyle \langle x|A=\langle Ax|\colon D\to \mathbb {K} }$는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 ${\displaystyle H\to \mathbb {K} }$로 유일하게 확장된다.
• ${\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}}$이며, 모든 ${\displaystyle u\in \operatorname {dom} A}$에 대하여 ${\displaystyle Au=A^{*}u}$이다. 여기서 ${\displaystyle A^{*}\colon \operatorname {dom} A^{*}\to H}$는 에르미트 수반이다.
• 그래프 ${\displaystyle \operatorname {graph} (A)=\{(x,Ax)\colon x\in H\}\subseteq H\oplus H}$ 및 심플렉틱 사상 ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}$, ${\displaystyle (x,y)\mapsto (-y,x)}$에 대하여, ${\displaystyle (J\operatorname {graph} A)^{\perp }=\operatorname {graph} A}$이다.
• 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 ${\displaystyle X}$과 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to (\mathbb {R} ,\operatorname {Borel} (X))}$과 전단사 유니터리 작용소 ${\displaystyle UH\to \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )}$가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle T_{f}\colon \operatorname {dom} T_{f}\to \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} ),\;\phi \mapsto f\phi }$는 ${\displaystyle f}$와의 점별 곱셈이다.)
  • ${\displaystyle U\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} T_{f}}$
  • ${\displaystyle UA=T_{f}U}$

마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(영어: multiplication operator)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

성질

단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.^[1]:65

유한 차원 힐베르트 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 위의 작용소 ${\displaystyle A}$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$는 대칭 작용소이다.
• ${\displaystyle A}$는 자기 수반 작용소이다.
• ${\displaystyle A}$의 행렬은 에르미트 행렬이다.

대칭 확장

대칭 작용소 ${\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to {\mathcal {H}}}$의 자기 수반 확장(영어: self-adjoint extension)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 ${\displaystyle {\tilde {A}}\colon \operatorname {dom} {\tilde {A}}\to {\mathcal {H}}}$이다.

• ${\displaystyle \operatorname {dom} A\subseteq \operatorname {dom} {\tilde {A}}}$
• ${\displaystyle \forall v\in \operatorname {dom} A\colon Av={\tilde {A}}v}$

대칭 연산자 ${\displaystyle A}$의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.^[1]:81–84

${\displaystyle U\colon \operatorname {range} (A+i)^{\perp }\to \operatorname {range} (A-i)^{\perp }}$

(${\displaystyle \operatorname {range} (A+i)^{\perp }}$은 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히, ${\displaystyle A}$가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은

${\displaystyle \dim \operatorname {range} (A+i)^{\perp }=\dim \operatorname {range} (A-i)^{\perp }}$

이다. 양변의 두 수를 ${\displaystyle A}$의 결점 지표(영어: deficiency index)라고 한다.

유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소(영어: essentially self-adjoint operator)라고 한다.

예

제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간

${\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {C} )}

을 생각하자. 이 위에서, 작용소

${\displaystyle A\colon f\mapsto (x\mapsto xf(x))}$

를 생각하자. 만약 ${\displaystyle f}$가 제곱 적분 가능 함수라도 ${\displaystyle x\mapsto xf(x)}$가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로, ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle H}$ 전체에 정의될 수 없다. 즉,

${\displaystyle \operatorname {dom} A=\{f\in H\colon (x\mapsto xf(x))\in H\}\subsetneq H}$

이다. 이는 ${\displaystyle H}$의 조밀 부분 공간이며, 임의의 ${\displaystyle f,g\in \operatorname {dom} H}$에 대하여

${\displaystyle \langle f|A|g\rangle =\int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}(xg(x))\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }({\overline {xf(x)}})g(x)\,\mathrm {d} x=\langle Af|g\rangle }$

이다. 따라서 ${\displaystyle A}$는 대칭 작용소이다. 또한, 임의의 ${\displaystyle f,g\in H}$에 대하여, 만약

${\displaystyle \langle f|A=\langle g|}$

라고 하자. 즉,

${\displaystyle \forall h\in \operatorname {dom} A\colon \int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}xh(x)\,\mathrm {d} x=\int {\overline {g(x)}}h(x)}$

이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서

${\displaystyle g=(x\mapsto xf(x))\in H}$

이므로, 정의에 따라 ${\displaystyle (x\mapsto xf(x))\in \operatorname {dom} A}$이게 된다. 즉, ${\displaystyle A}$는 자기 수반 작용소이다.

곱셈 연산자

다음이 주어졌다고 하자.

• 측도 공간 ${\displaystyle X}$
• 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to (\mathbb {R} ,\operatorname {Borel} (\mathbb {R} ))}$ (${\displaystyle \operatorname {Borel} (-)}$은 보렐 시그마 대수)
• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$

그렇다면, ${\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )}$ 위에 작용소

${\displaystyle T_{f}\colon \phi \mapsto \phi f}$

를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(X;\mathbb {K} )}$ 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
• 임의의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle H}$ 및 자기 수반 작용소 ${\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to H}$에 대하여, ${\displaystyle U\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} T_{f}}$이자 ${\displaystyle UA=T_{f}U}$가 되는 측도 공간 ${\displaystyle X}$와 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$와 (전단사) 유니터리 작용소 ${\displaystyle U\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {K} )} 가 존재한다.

특히, 만약 ${\displaystyle H=\mathbb {K} ^{n}}$이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 ${\displaystyle n\times n}$ 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값

${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\}}$

들은 모두 실수이다. 이 경우

• ${\displaystyle X=\{1,2,\dotsc ,n\}}$ (크기 ${\displaystyle n}$의 이산 가측 공간)
• ${\displaystyle \mu (S)=|S|}$ (셈측도)
• ${\displaystyle f\colon i\mapsto \lambda _{i}}$

가 된다.

같이 보기

• 에르미트 수반
• 정규 작용소