에르미트 수반

작용소 이론에서 에르미트 수반(Hermite隨伴, 영어: Hermitian adjoint)은 행렬의 켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

임의의 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ 사이의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle A\colon V\to W}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$의 에르미트 수반은 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환이다.

${\displaystyle A^{*}\colon W'\to V'}$

${\displaystyle A^{*}\phi \colon v\mapsto \phi (Av)\qquad (\forall \phi \in W',\;v\in V)}$

여기서 ${\displaystyle V'}$와 ${\displaystyle W'}$은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약 ${\displaystyle V}$ 또는 ${\displaystyle W}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 ${\displaystyle V'\cong {\bar {V}}}$, ${\displaystyle W'\cong {\bar {V}}}$가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 ${\displaystyle {\bar {W}}\to {\bar {V}}}$가 된다.

부분 정의 작용소의 경우

${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$가 주어졌으며, ${\displaystyle V}$ 속의 조밀 부분 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-벡터 공간 ${\displaystyle D\subseteq V}$ 위에 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환

${\displaystyle A\colon D\to W}$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환

${\displaystyle A^{*}\colon W'\to D'}$

을 얻을 수 있다. 그러나 ${\displaystyle D'\supseteq V'}$이므로, 만약 공역이 ${\displaystyle V'}$이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간 ${\displaystyle E\subseteq W'}$으로 제한하여야 한다.

이 경우, ${\displaystyle E\subseteq W'}$를 다음과 ${\displaystyle \phi \circ A}$가 유한 유계 작용소가 되게 하는 ${\displaystyle \phi \in W'}$들의 공간으로 정의하자.

${\displaystyle \phi \in E\iff \|\phi \circ A\|=\sup _{v\in D\setminus \{0\}}{\frac {|\phi (Av)|}{\|v\|_{V}}}<\infty }$

그렇다면, 정의에 따라, 임의의 ${\displaystyle \phi \in E}$에 대하여,

${\displaystyle \phi \circ A\colon D\to \mathbb {K} }$

는 ${\displaystyle D}$ 위의 유계 작용소이다. 즉, ${\displaystyle \phi \circ A\in D'}$이며, 이는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환

${\displaystyle (\circ A)\colon E\to D'}$

을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의 ${\displaystyle \phi \in E}$에 대하여 ${\displaystyle \phi \circ A}$는 사실 ${\displaystyle V'\subseteq D'}$에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환

${\displaystyle A^{*}\colon E\to V'}$

이 존재한다. 이를 ${\displaystyle A}$의 에르미트 수반이라고 한다.

힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우

${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot |\cdot \rangle )}$의 조밀 부분공간 ${\displaystyle \operatorname {dom} A\subset {\mathcal {H}}}$에 정의된 선형변환 ${\displaystyle A\colon \operatorname {dom} A\to {\mathcal {H}}}$의 수반(영어: adjoint) ${\displaystyle A^{*}}$은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 ${\displaystyle \operatorname {dom} A}$가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.)^[1]:59

• ${\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}=\{u\in {\mathcal {H}}|\forall v\in \operatorname {dom} A\exists {\tilde {u}}\in {\mathcal {H}}\colon \langle u|Av\rangle =\langle {\tilde {u}}|v\rangle \}}$
• ${\displaystyle \forall v\in \operatorname {dom} A\colon \langle A^{*}u|v\rangle =\langle u|Av\rangle }$

성질

일반적으로, ${\displaystyle \operatorname {dom} A}$가 조밀하더라도 ${\displaystyle \operatorname {dom} A^{*}}$는 조밀하지 못할 수 있다.^[1]:59

${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle A'}$이 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 전체에 정의된 유계 작용소라고 하고, ${\displaystyle \lambda ,\lambda '\in \mathbb {K} }$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}={\mathcal {H}}}$
• ${\displaystyle A^{**}=A}$
• ${\displaystyle (\lambda A+\lambda A')^{*}={\bar {\lambda }}A^{*}+{\bar {\lambda }}'A'^{*}}$
• ${\displaystyle (AA')^{*}=A'^{*}A^{*}}$
• ${\displaystyle \|A\|=\|A^{*}\|}$ (${\displaystyle \|\cdot \|}$는 작용소 노름)
• ${\displaystyle \|A^{*}A\|=\|A\|^{2}}$

유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 (${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$인 경우) 대칭 행렬이거나 (${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$인 경우) 에르미트 행렬이다.