자기 동형탑

군론에서, 어떤 군의 자기 동형탑(自己同型塔, 영어: automorphism tower)은 자기 동형군을 반복적으로 취하여 만들어지는 군의 열이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 자기 동형탑 ${\displaystyle (\operatorname {Aut} ^{\alpha }(G),\phi _{\alpha \beta })}$은 다음과 같은 데이터들의 튜플이다.

• 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여, 군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)}$
• ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$인 순서수 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$에 대하여, 군 준동형 ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }\colon \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)\to \operatorname {Aut} ^{\beta }(G)}$. 또한, ${\displaystyle \alpha =\beta }$인 경우, ${\displaystyle \phi _{\alpha \alpha }}$는 항등 함수이다.

이는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다.

• ${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{0}(G)=G}$
• 따름 순서수 ${\displaystyle \alpha +1}$에 대하여,
  • ${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha +1}(G)=\operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} ^{\alpha }(G))}$는 ${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)}$의 자기 동형군이다.
  • ${\displaystyle \phi _{\alpha ,\alpha +1}\colon \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)\to \operatorname {Aut} ^{\alpha +1}(G)}$는 임의의 ${\displaystyle g\in \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)}$를 그에 대응하는 내부 자기 동형 ${\displaystyle \phi _{\alpha ,\alpha +1}(g)\colon h\mapsto ghg^{-1}}$으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다.
• 극한 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여, ${\displaystyle (\operatorname {Aut} ^{\alpha }(G),(\phi _{\beta \alpha })_{\beta <\alpha })}$는 유향 체계 ${\displaystyle ((\operatorname {Aut} ^{\beta }(G))_{\beta <\alpha },(\phi _{\beta \gamma })_{\beta \leq \gamma <\alpha })}$의 귀납적 극한이다.

군 ${\displaystyle G}$의 자기 동형탑 높이(영어: automorphism tower height) ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)}$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수이다.

• ${\displaystyle \phi _{\tau _{\operatorname {Aut} }(G),\tau _{\operatorname {Aut} }(G)+1}}$는 군의 동형이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\tau _{\operatorname {Aut} }(G)}(G)}$는 완비군이다.

이 경우, 임의의 순서수 ${\displaystyle \beta \geq \alpha \geq \tau _{\operatorname {Aut} }(G)}$에 대하여 ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }}$는 군의 동형이다. 즉, ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)}$는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다.

성질

무중심군

 무중심군 문서를 참고하십시오.

임의의 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 그 내부 자기 동형군은 자기 동형군의 정규 부분군을 이룬다. 만약 ${\displaystyle G}$의 중심이 자명군이라면, 그 내부 자기 동형군의 자기 동형군에서의 중심화 부분군은 자명군이다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {Aut} (G)}(\operatorname {Inn} (G))=1}$

특히, 만약 ${\displaystyle G}$의 중심이 자명군이라면, ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 군 준동형 ${\displaystyle \phi _{0,1}\colon G\to \operatorname {Aut} (G)}$이 단사 함수인 조건과 동치이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군 ${\displaystyle G}$의 자기 동형탑

${\displaystyle G\vartriangleleft \operatorname {Aut} (G)\vartriangleleft \operatorname {Aut} (\operatorname {Aut} (G))\vartriangleleft \dotsb \vartriangleleft \operatorname {Aut} ^{\omega }(G)\vartriangleleft \operatorname {Aut} ^{\omega +1}(G)\vartriangleleft \dotsb }$

은 점점 커지는 일련의 (정규) 부분군들의 열이다.

자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 충분조건은 다음과 같다.

• 만약 ${\displaystyle G}$가 자명한 중심을 갖는 유한군이라면, ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\omega }$이다.
• 만약 ${\displaystyle G}$가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, 영어: Chernikov group)이라면, ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\omega }$이다.
• 만약 ${\displaystyle G}$가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, 영어: polycyclic group)이라면, ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\omega _{1}}$이다.
• 만약 ${\displaystyle G}$가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면, ${\displaystyle \tau (G)<\omega _{1}}$이다.^{[1]:95, Theorem 1.6}

임의의 무한 기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 군 ${\displaystyle G}$의 자기 동형탑 높이는 ${\displaystyle (2^{\kappa })^{+}}$ 미만이며 (여기서, ${\displaystyle (2^{\kappa })^{+}}$는 ${\displaystyle 2^{\kappa }}$의 따름 기수이다), 이는 선택 공리를 필요로 하지 않는다.^[2] 또한, 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha <\kappa ^{+}}$에 대하여, 자기 동형탑 높이가 ${\displaystyle \alpha }$인, 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 자명한 중심을 갖는 군 ${\displaystyle G}$가 존재한다. 즉, ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )}$가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자.

• 임의의 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 자명한 중심을 갖는 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)<\tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )}$

그렇다면, 위 결론들에 따라 ${\displaystyle \kappa ^{+}\leq \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )\leq (2^{\kappa })^{+}}$이다. 하지만 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 자명한 중심을 갖는 군은 ${\displaystyle 2^{\kappa }}$개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다.

${\displaystyle \kappa ^{+}\leq \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )<(2^{\kappa })^{+}}$

즉, ${\displaystyle (2^{\kappa })^{+}}$는 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 무중심군의 자기 동형군 높이 ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(G)}$에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약 ${\displaystyle \kappa }$가 비가산 기수라면, ${\displaystyle (2^{\kappa })^{+}}$는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 명제 ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )<(2^{\kappa })^{+}}$를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 강제법을 사용하여 보일 수 있다.^{[3]:245, Theorem 1.4} (이러한 일이 가능한 것은 ${\displaystyle \tau _{\operatorname {Aut} }(\kappa )}$의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.)

일반적인 군

임의의 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Aut} ^{\alpha }(G)}$의 중심이 자명군인 순서수 ${\displaystyle \alpha }$가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다.