다순환군

군론에서, 다순환군(多循環群, 영어: polycyclic group)은 순환군들을 통한 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 다순환군(영어: polycyclic group)이라고 한다.

• 모든 ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$가 순환군인, 부분정규 부분군들의 열 ${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G}$가 존재한다.
• 가해군이며, 뇌터 군이다.^[1]:165
• 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 일반 선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {Z} )}$의 가해 부분군과 동형이다.
• ${\displaystyle G\cong \langle s_{1},\dots ,s_{n}|s_{i}^{-1}s_{j}s_{i}=u_{ij},\;s_{i}s_{j}s_{i}^{-1}=v_{ij},\;1\leq i<j\leq n,\;s_{i}^{k_{i}}=w_{i},\;i\in I\rangle }$인 ${\displaystyle u_{ij},v_{ij},w_{i}\in \langle s_{i+1},\cdots ,s_{n}|\rangle }$ 및 ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}}$ 및 ${\displaystyle I\subseteq \{1,\dots ,n\}}$이 존재한다.

거의 다순환군(영어: virtually polycyclic group, polycyclic-by-finite group)은 지표가 유한한 다순환 부분군이 존재하는 군이다. 즉, 다순환군의 유한군에 의한 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

• 다순환군 ⊊ 거의 다순환군
• 유한생성군 ∩ 멱영군 ⊊ 초가해군 ⊊ 다순환군
• 다순환군 ⊊ 가해군
• 거의 다순환군 ⊊ 뇌터 군 ⊊ 유한생성군 ∩ 호프 군
• 거의 다순환군 ⊊ 유한표시군

다순환군의 부분군은 다순환군이다. 다순환군의 몫군은 다순환군이다. 다순환군의 다순환군에 의한 확대는 다순환군이다.

히르슈 길이

다순환군 ${\displaystyle G}$가 주어졌을 때, 무한 인자 ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$의 수는 모든 ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$가 순환군인 부분정규 부분군들의 열

${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G}$

의 선택과 무관하다. 이는 슈라이어 세분 정리를 사용하여 보일 수 있다. 이를 다순환군 ${\displaystyle G}$의 히르슈 길이(영어: Hirsch length) 또는 히르슈 수(영어: Hirsch number)라고 한다.

역사

거의 다순환군이 아닌 뇌터 군은 알렉산드르 유리예비치 올샨스키(러시아어: Александр Юрьевич Ольшанский)가 1979년 논문에서 처음 구성하였다.^[2][3]