중심화 부분 모노이드

추상대수학에서 중심화 부분 모노이드(中心化部分monoid, 영어: centralizer (submonoid), commutant)는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.

군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 중심화 부분군(中心化部分群, 영어: centralizer (subgroup))이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer (subring))이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.

정의

모노이드 ${\displaystyle M}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq M}$의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 ${\displaystyle M}$의 부분 집합이다.^{[1]:41, §1.4[2]:AI.7, Définition A1.9}

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(S)=\{x\in M\colon \forall s\in S\colon sx=xs\}}$

이는 ${\displaystyle M}$의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 ${\displaystyle (-)'}$으로 표기한다.)

${\displaystyle S}$의 이중 중심화 부분 모노이드(영어: double centralizer, bicentralizer, bicommutant) ${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))\subseteq M}$은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.^[2]:AI.8

성질

일반적 모노이드 ${\displaystyle M}$의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\varnothing )=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {Z} (M))=M}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(M)=\operatorname {Z} (M)}$

${\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} _{M}(S)=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S)))}$^[2]:AI.8

${\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {Z} (M)\subseteq \operatorname {C} _{M}(S)}$

${\displaystyle \forall S\subseteq M\colon \operatorname {C} _{M}(S)=\bigcap _{s\in S}\operatorname {C} _{M}(\{s\})}$

${\displaystyle \forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} _{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} _{M}(S)}$^[2]:AI.7

${\displaystyle \forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} _{M}(S)\supseteq \operatorname {C} _{M}(T)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Z} (-)}$는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(-)\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)^{\operatorname {op} }}$

를 이룬다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Pow} (M)}$은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, ${\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}$은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

이중 중심화 부분 모노이드

일반적 모노이드 ${\displaystyle M}$의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\varnothing ))=\operatorname {Z} (M)}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(M))=M}$

${\displaystyle \forall S\subseteq M\colon S\subseteq \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))=\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))))}$

${\displaystyle \forall {\mathcal {S}}\subseteq \operatorname {Pow} (M)\colon \operatorname {C} _{M}\left(\operatorname {C} _{M}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))}$

${\displaystyle \forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(S))\subseteq \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(T))}$

이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

${\displaystyle \operatorname {C} _{M}(\operatorname {C} _{M}(-))\colon \operatorname {Pow} (M)\to \operatorname {Pow} (M)}$

를 이룬다.

특히, 집합 ${\displaystyle M\setminus \operatorname {Z} (M)}$ 위에 폐포

${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=\operatorname {C} _{M}(S)\setminus \operatorname {Z} (M)\qquad (S\subseteq M\setminus \operatorname {Z} (M))}$

를 정의하면, 이는 ${\displaystyle M\setminus \operatorname {Z} (M)}$ 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

군

군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다.

군 ${\displaystyle G}$의 부분 집합 ${\displaystyle S}$의 중심화 부분군은 항상 ${\displaystyle S}$의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

${\displaystyle \operatorname {Z} (G)\trianglelefteq \operatorname {C} _{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} _{G}(S)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Z} (-)}$는 군의 중심이며, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(-)}$는 정규화 부분군이다.

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 ${\displaystyle H}$의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (N/C 정리, 영어: N/C theorem).

${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)/\operatorname {C} _{G}(H)\lesssim \operatorname {Aut} (H)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (-)}$는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(\{g\})=\operatorname {N} _{G}(\{g\})\qquad \forall g\in G}$

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle H=\operatorname {C} _{G}(\operatorname {C} _{G}(H))}$. 즉, ${\displaystyle H}$는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
• ${\displaystyle H=\operatorname {C} _{G}(S)}$가 되는 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq G}$가 존재한다. 즉, ${\displaystyle H}$는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군 ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle K}$ 및 군 준동형

${\displaystyle \phi \colon K\to \operatorname {Aut} (H)}$

에 대하여, 반직접곱 ${\displaystyle H\rtimes _{\phi }K}$ 및 포함 사상 ${\displaystyle H,K\subseteq H\rtimes _{\phi }K}$을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{H\rtimes _{\phi }K}(K)\cap H=\operatorname {N} _{H\rtimes _{\phi }K}(K)\cap H}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{H\rtimes _{\phi }K}(H)\cap K=\ker \phi }$

환

환 ${\displaystyle R}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq R}$의 (곱셈에 대한) 가환식 ${\displaystyle S'\subseteq R}$는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 중심화 부분환(中心化部分環, 영어: centralizer subring)이라고 한다.

임의의 나눗셈환 ${\displaystyle K}$의 임의의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq K}$에 대하여, 중심화 부분환 ${\displaystyle \operatorname {C} _{K}(S)}$ 역시 나눗셈환이다.

증명:

${\displaystyle \operatorname {C} _{K}(S)}$는 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 ${\displaystyle a\in \operatorname {C} _{K}(S)\setminus \{0\}}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여, ${\displaystyle a^{-1}s=a^{-1}saa^{-1}=a^{-1}asa^{-1}=sa^{-1}}$이다.

가군

 이 부분의 본문은 균형 잡힌 쌍가군입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 환 ${\displaystyle R}$
• 환 ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$

그렇다면, ${\displaystyle S}$-오른쪽 가군의 자기 사상환

${\displaystyle \operatorname {End} (M_{S})}$

을 정의할 수 있으며, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle \operatorname {End} (M_{S})}$-왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 자연스러운 환 준동형

${\displaystyle \phi _{M}\colon R\to \operatorname {End} (M_{S})}$

${\displaystyle \phi _{M}r\colon m\mapsto rm\qquad (r\in R,\;m\in M)}$

이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라

${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R))=\operatorname {End} (M_{R})}$

이다. (여기서 우변은 ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군의 자기 사상환이다.)

만약 ${\displaystyle \phi _{M}(R)}$가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약

${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R)))=\phi _{M}(R)}$

이라면, ${\displaystyle M}$을 균형 잡힌 가군이라고 한다.

폰 노이만 대수

 폰 노이만 대수 문서를 참고하십시오.

복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$의 부분 대합 대수 ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {B} (V,V)}$를 생각하자. (즉, ${\displaystyle S}$는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(영어: von Neumann bicommutant theorem)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.

• ${\displaystyle S}$의 이중 중심화 부분환 ${\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {B} (V,V)}(\operatorname {C} _{\operatorname {B} (V,V)}(S))}$
• ${\displaystyle S}$의 약한 작용소 위상에서의 폐포
• ${\displaystyle S}$의 강한 작용소 위상에서의 폐포
• ${\displaystyle S}$로부터 생성되는 폰 노이만 대수

(다만, ${\displaystyle S}$의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

예

만약 ${\displaystyle M}$이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq M}$에 대하여 ${\displaystyle S'=M}$이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약 ${\displaystyle M=\Sigma ^{*}}$가 ${\displaystyle \Sigma }$로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {C} _{\Sigma ^{*}}(S)=\{s\in \Sigma ^{*}\colon \{s\}^{*}\supseteq S\}^{*}}$

사원수 대수 ${\displaystyle \mathbb {H} }$에서, ${\displaystyle \mathrm {i} }$의 중심화 부분환은 ${\displaystyle \mathbb {R} +\mathbb {R} i}$이다. 보다 일반적으로, 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {H} }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Im} x=(x-{\bar {x}})/2}$를 생각하면, ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mathbb {H} }(\{x\})=\mathbb {R} +\mathbb {R} \operatorname {Im} x}$이다. 만약 ${\displaystyle \operatorname {Im} x\neq 0}$이라면 ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mathbb {H} }(\{x\})}$는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.