전자 자기 모멘트

원자물리학에서 전자 자기 모멘트(영어: Electron magnetic moment) 또는 더 구체적으로 전자 자기 쌍극자 모멘트(영어: electron magnetic dipole moment)는 스핀과 전하라는 고유한 특성으로 인해 발생하는 전자의 자기 모멘트이다. 전자의 자기 모멘트 (기호 μ_e) 값은 −9.2847646917(29)×10⁻²⁴ J⋅T⁻¹.^[1] 보어 마그네톤 (μ_B) 단위로는 −1.00115965218046(18),^[2]이며, 이는 1.8×10⁻¹³의 상대적 불확실성을 가진다.

전자의 자기 모멘트

전자는 전하 −e를 가진 하전 입자이며, 여기서 e는 기본 전하의 단위이다. 전자의 각운동량은 스핀과 궤도 운동의 두 가지 유형의 회전에서 발생한다. 고전 전자기학에 따르면, 회전하는 전하 분포는 자기 쌍극자를 생성하여 작은 막대자석처럼 행동한다. 한 가지 결과는 외부 자기장이 자기장에 대한 이 쌍극자의 방향에 따라 달라지는 전자의 토크를 가한다는 것이다.

전자를 질량과 전하가 동일한 분포와 운동을 가지며 각운동량 L로 축을 중심으로 회전하는 고전적 강체로 시각화하면, 자기 쌍극자 모멘트 μ는 다음으로 주어진다. $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{2m_{\text{e}}}}\,\mathbf {L} \,,}$$ 여기서 m_e는 전자의 정지 질량이다. 이 방정식의 각운동량 L은 스핀 각운동량, 궤도 각운동량 또는 총 각운동량일 수 있다. 실제 스핀 자기 모멘트와 이 모델로 예측된 모멘트 사이의 비율은 무차원량 계수 g_e이며, 이는 전자의 g-인자로 알려져 있다. $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{\text{e}}\,{\frac {(-e)}{~2m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,.}$$

자기 모멘트를 환산 플랑크 상수 ħ와 보어 마그네톤 μ_B로 표현하는 것이 일반적이다. $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{\text{e}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {\mathbf {L} }{\hbar }}\,.}$$

공식 정의

전하 중심 및 질량 중심과 같은 고전적 개념은 그러나 양자 기본 입자에 대해 정확하게 정의하기 어렵다. 실제로 실험자들이 사용하는 정의는 행렬 요소에 나타나는 형태 인자 ${\displaystyle F_{i}(q^{2})}$에서 비롯된다. $${\displaystyle \langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left[F_{1}(q^{2})\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\text{e}}~}}q_{\nu }F_{2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+{\frac {1}{~2\,m_{\text{e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{\mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right]u(p_{i})}$$ 두 온쉘 상태 사이의 전자기 전류 연산자에서. 여기서 ${\displaystyle u(p_{i})}$와 ${\displaystyle {\bar {u}}(p_{f})}$는 ${\displaystyle {\bar {u}}u=2m_{\text{e}}}$로 정규화된 디랙 방정식의 4-스피너 해이며, ${\displaystyle q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }}$는 전류에서 전자로의 운동량 전달이다. ${\displaystyle q^{2}=0}$ 형태 인자 ${\displaystyle F_{1}(0)=-e}$는 전자의 전하이며, ${\textstyle \mu ={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$는 전자의 정적 자기 쌍극자 모멘트이고, ${\textstyle -{\frac {1}{2m_{\text{e}}}}F_{3}(0)}$는 전자의 전기 쌍극자 모멘트의 공식 정의를 제공한다. 나머지 형태 인자 ${\displaystyle F_{4}(q^{2})}$는 0이 아닐 경우 아나폴 모멘트가 된다.

스핀 자기 쌍극자 모멘트

스핀 자기 모멘트는 전자의 고유한 속성이다.^[3] $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.}$$

여기서 S는 전자의 스핀 각운동량이다. 스핀 g-인자는 대략 2이다: ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$. 이 인자 2는 전자가 질량과 전하 분포가 동일한 하전 입자에 비해 자기 모멘트를 생성하는 데 두 배 더 효과적인 것으로 보인다는 것을 나타낸다.

스핀 자기 쌍극자 모멘트는 대략 1 μ_B이다. 왜냐하면 ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$이고 전자는 스핀-⁠1/2⁠ 입자이기 때문이다 (S = ⁠ħ/2⁠):

전자의 자기 모멘트의 z 성분은 $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_{\text{s}}\,,}$$ 여기서 m_s는 스핀 양자수이다. μ는 스핀 (물리학)에 음의 상수가 곱해진 것이므로, 자기 모멘트는 스핀 각운동량과 반평행하다는 점에 유의한다.

스핀 g-인자 g_s = 2는 전자의 스핀과 전자기적 특성을 연결하는 기본 방정식인 디랙 방정식에서 비롯된다. 자기장 내 전자에 대한 디랙 방정식을 비상대론적 극한으로 환원하면 슈뢰딩거 방정식에 보정 항이 추가되는데, 이는 전자의 고유 자기 모멘트와 자기장의 상호 작용을 고려하여 올바른 에너지를 제공한다.

전자 스핀의 경우, 스핀 g-인자의 가장 정확한 값은 실험적으로 다음 값으로 결정되었다.

−2.00231930436092(36).^[4]

이는 디랙 방정식의 값과 미미하게만 다르다는 점에 유의한다. 이 작은 보정은 전자의 비정상 자기 쌍극자 모멘트로 알려져 있다. 이는 양자 전기역학에서 전자가 가상 광자와 상호 작용하기 때문에 발생한다. 양자 전기역학 이론의 성공 중 하나는 전자의 g-인자를 정확하게 예측한 것이다. 전자 자기 모멘트에 대한 CODATA 값은 다음과 같다.

−9.2847646917(29)×10⁻²⁴ J⋅T⁻¹.^[1]

궤도 자기 쌍극자 모멘트

전자가 핵과 같은 다른 물체를 통과하는 축을 중심으로 공전하는 것은 궤도 자기 쌍극자 모멘트를 발생시킨다. 궤도 운동의 각운동량이 L이라고 가정하자. 그러면 궤도 자기 쌍극자 모멘트는 다음과 같다. $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.}$$

여기서 g_L은 전자 궤도 g-인자이고 μ_B는 보어 마그네톤이다. g_L의 값은 고전적 자기회전비율 유도와 유사한 양자역학적 논리에 의해 정확히 1과 같다.

총 자기 쌍극자 모멘트

전자의 스핀 및 궤도 각운동량 모두에서 발생하는 총 자기 쌍극자 모멘트는 총 각운동량 J와 유사한 방정식으로 관련된다. $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.}$$

g-인자 g_J는 랑데 지 인자로 알려져 있으며, 양자역학을 통해 g_L과 g_S와 관련될 수 있다. 자세한 내용은 랑데 지 인자를 참조하라.

예: 수소 원자

수소 원자의 경우, 원자 궤도 Ψ_n,ℓ,m 를 차지하는 전자의 자기 쌍극자 모멘트는 다음과 같다. $${\displaystyle \mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.}$$

여기서 L은 궤도 각운동량이고, n, ℓ, m은 각각 주양자수, 방위 양자수, 자기양자수이다. 자기양자수 m_ℓ을 가진 전자의 궤도 자기 쌍극자 모멘트의 z 성분은 다음과 같다. $${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.}$$

역사

전자의 자기 모멘트는 전자 스핀과 본질적으로 연결되어 있으며, 20세기 초 원자 초기 모형에서 처음으로 가설되었다. 전자 스핀 개념을 처음 도입한 사람은 아서 콤프턴으로, 1921년 X선으로 강자성 물질을 조사한 논문에서였다.^{[5](pp.  145–155 )[6]} 콤프턴의 기사에서 그는 다음과 같이 썼다: "아마도 가장 자연스럽고, 확실히 가장 일반적으로 받아들여지는 기본 자석의 본질에 대한 견해는 원자 내 궤도에서 전자의 회전이 원자 전체에 작은 영구 자석의 특성을 부여한다는 것이다."^[5]:{{{1}}}

같은 해 오토 슈테른은 나중에 슈테른-게를라흐 실험이라고 불리는 실험을 제안했는데, 이는 자기장 내의 은 원자가 분포의 반대 방향으로 편향되는 현상이었다. 이 1925년 이전 시기는 고전적인 타원형 전자 궤도를 가진 보어-조머펠트 모형을 기반으로 한 초기 양자론이 구축된 시기였다. 1916년부터 1925년 사이에는 주기율표의 전자 배열에 대해 많은 진전이 있었다. 보어 원자에서 제이만 효과를 설명하기 위해 조머펠트는 전자가 궤도의 크기, 궤도의 모양, 궤도가 향하는 방향을 설명하는 세 가지 '양자수' n, k, m을 기반으로 할 것이라고 제안했다.^[7] 어빙 랭뮤어는 1919년 껍질 내 전자에 관한 논문에서 "리드베리는 이 숫자들이 ${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$라는 계열에서 얻어진다고 지적했다. 인자 2는 모든 안정된 원자에 대한 근본적인 이중 대칭을 시사한다."라고 설명했다.^[8] 이 ${\displaystyle 2n^{2}}$ 구성은 1924년 10월 에드먼드 스토너가 Philosophical Magazine에 발표한 'The Distribution of Electrons Among Atomic Levels' 논문에서 채택되었다. 볼프강 파울리는 이것이 이중 값을 가진 네 번째 양자수를 필요로 한다고 가설했다.^[9]

파울리 및 디랙 이론의 전자 스핀

 이 부분의 본문은 파울리 방정식 및 디랙 방정식입니다.

여기서부터 전자의 전하는 e < 0이다. 반정수 스핀을 도입할 필요성은 실험적으로 슈테른-게를라흐 실험 결과로 거슬러 올라간다. 원자 빔이 강한 비균일 자기장을 통과하면 원자의 고유 각운동량에 따라 N개의 부분으로 나뉜다. 은 원자의 경우 빔이 두 부분으로 나뉘는 것으로 밝혀졌는데, 이는 기저 상태가 정수가 될 수 없음을 의미한다. 왜냐하면 원자의 고유 각운동량이 가능한 한 가장 작은 값인 1이더라도 빔은 L_z = −1, 0, +1에 해당하는 원자로 3부분으로 나 었을 것이기 때문이다. 결론은 은 원자가 순 고유 각운동량 ⁠1/2⁠을 가진다는 것이다. 파울리는 2성분 파동 함수와 그에 해당하는 해밀토니언의 보정 항을 도입하여 이 분리를 설명하는 이론을 제시했는데, 이는 이 파동 함수와 인가된 자기장의 반고전적 결합을 나타낸다. $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}+e\phi .}$$

여기서 A는 자기 벡터 퍼텐셜이고 ϕ는 전위이며, 둘 다 전자기장을 나타내고, σ = (σ_x, σ_y, σ_z)는 파울리 행렬이다. 첫 번째 항을 제곱하면 자기장과의 잔여 상호 작용이 발견되며, 인가된 장과 상호 작용하는 하전 입자의 일반적인 고전적 해밀토니언과 함께 다음이 발견된다. $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .}$$

이 해밀토니언은 이제 2 × 2 행렬이므로, 이를 기반으로 하는 슈뢰딩거 방정식은 2성분 파동 함수를 사용해야 한다. 파울리는 2 × 2 시그마 행렬을 순수 현상론으로 도입했다. 디랙은 이제 스핀이 상대성 이론을 양자역학에 통합한 결과라는 이론적 논증을 가지고 있었다. 외부 전자기 4-퍼텐셜을 유사한 방식으로 디랙 방정식에 도입하는 것을 최소 결합이라고 하는데, 다음과 같은 형태를 취한다 (자연단위계 ħ = c = 1): $${\displaystyle \left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0}$$ 여기서 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$는 디랙 행렬 (또는 감마 행렬)이고 i는 허수 단위이다. 디랙 연산자의 두 번째 적용은 이제 이전과 같이 파울리 항을 정확히 재현할 것이다. 왜냐하면 공간 디랙 행렬에 i가 곱해진 것은 파울리 행렬과 동일한 제곱 및 교환 관계를 가지기 때문이다. 더욱이, 파울리의 새로운 항 앞에 있는 전자의 자기회전비율 값은 기본 원리에서 설명된다. 이것은 디랙 방정식의 주요 성과였으며 물리학자들에게 그 전체적인 정확성에 대한 큰 믿음을 주었다. 파울리 이론은 다음 방식으로 디랙 이론의 저에너지 한계로 볼 수 있다. 먼저 방정식은 단위가 복원된 2-스피너에 대한 결합된 방정식 형태로 작성된다. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.}$$ 따라서 $${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}}$$

장이 약하고 전자의 움직임이 비상대론적이라고 가정하면, 전자의 총 에너지는 정지 에너지와 거의 같고, 운동량은 고전적 값으로 감소한다. $${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}}$$ 따라서 두 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$$ 이는 ⁠v/c⁠ 차수이다. 따라서 일반적인 에너지와 속도에서 표준 표현의 디랙 장의 아래쪽 성분은 위쪽 성분에 비해 훨씬 억제된다. 이 표현을 첫 번째 방정식에 대입하면 약간의 재배열 후 다음과 같은 결과가 나온다. $${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$$

왼쪽의 연산자는 입자의 에너지를 정지 에너지에서 뺀 값을 나타내는데, 이는 고전적인 에너지일 뿐이다. 따라서 파울리의 2-스피너를 비상대론적 근사에서 디랙 스피너의 위쪽 성분과 동일시하면 파울리 이론을 복구한다. 더 나아가 근사화하면 슈뢰딩거 방정식이 파울리 이론의 극한으로 주어진다. 따라서 슈뢰딩거 방정식은 스핀을 무시하고 저에너지 및 저속에서만 작업할 수 있을 때 디랙 방정식의 먼 비상대론적 근사로 볼 수 있다. 이것 또한 새로운 방정식의 큰 성공이었다. 왜냐하면 방정식에 나타나는 신비한 i와 복소 파동 함수의 필요성을 디랙 대수를 통해 시공간의 기하학으로 추적했기 때문이다. 또한 슈뢰딩거 방정식이 겉으로는 확산 방정식 형태를 취하지만 실제로는 파동의 전파를 나타내는 이유를 강조한다.

디랙 스피너를 크고 작은 성분으로 분리하는 것은 저에너지 근사에 명시적으로 의존한다는 점을 강력히 강조해야 한다. 전체 디랙 스피너는 환원 불가능한 전체를 나타내며, 파울리 이론에 도달하기 위해 방금 무시한 성분들은 상대론적 영역에서 새로운 현상, 즉 반물질과 입자의 생성 및 소멸 개념을 가져올 것이다.

일반적인 경우 (전자기장의 특정 선형 함수가 동일하게 0이 되지 않는 경우), 디랙 방정식의 스피너 함수의 네 가지 구성 요소 중 세 가지는 대수적으로 제거될 수 있으며, 단 하나의 구성 요소에 대한 등가 4차 편미분 방정식을 생성한다. 또한 이 남은 구성 요소는 게이지 변환을 통해 실수로 만들 수 있다.^[10]

측정

전자의 비정상 자기 쌍극자 모멘트의 존재는 자기 공명 방법으로 실험적으로 검출되었다.^[11] 이를 통해 양성자와 중수소 원자의 전자 껍질 에너지 준위의 초미세 분리를 여러 전이의 측정된 공명 주파수를 사용하여 결정할 수 있다.^[12][13]

전자의 자기 모멘트는 단일 전자 양자 사이클로트론과 양자 비파괴 측정 분광법을 사용하여 측정되었다. 전자의 스핀 주파수는 g-인자에 의해 결정된다. $${\displaystyle \nu _{\text{s}}={\frac {g}{2}}\nu _{c}}$$ $${\displaystyle {\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\nu }}_{c}}}}$$

같이 보기

• 스핀 (물리학)
• 전자 강하
• 보어 마그네톤
• 핵 자기 모멘트
• 핵자 자기 모멘트
• 비정상 자기 쌍극자 모멘트
• 전자 전이 쌍극자 모멘트
• 미세 구조
• 초미세 구조