파울리 방정식

양자역학에서 파울리 방정식(영어: Pauli equation) 또는 슈뢰딩거-파울리 방정식(영어: Schrödinger–Pauli equation)은 스핀-1/2 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 공식으로, 입자의 스핀과 외부 전자기장의 상호작용을 고려한다. 이는 상대론적이 아닌 디랙 방정식의 한계이며, 입자가 빛의 속력보다 훨씬 느린 속도로 움직여 상대론적 효과를 무시할 수 있는 경우에 사용할 수 있다. 이 방정식은 1927년 볼프강 파울리에 의해 정립되었다.^[1] 선형화된 형태로는 레비-르블롱 방정식으로 알려져 있다.

방정식

질량 ${\displaystyle m}$과 전하 ${\displaystyle q}$를 가진 입자가 자기 벡터 퍼텐셜 ${\displaystyle \mathbf {A} }$와 전위 ${\displaystyle \phi }$로 기술되는 전자기장에 있을 때, 파울리 방정식은 다음과 같다:

파울리 방정식 (일반형)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

여기서 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$는 편의를 위해 벡터로 묶인 파울리 연산자이며, ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$는 위치 표현에서 운동량 연산자이다. 시스템의 상태 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ (브라-켓 표기법으로 표기됨)는 두 성분 스피너 파동 함수 또는 열 벡터 (기저 선택 후)로 간주할 수 있다:

${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|{\mathord {\uparrow }}\rangle +\psi _{-}|{\mathord {\downarrow }}\rangle \,{\stackrel {\cdot }{=}}\,{\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}$.

해밀토니언 연산자는 파울리 연산자 때문에 2 × 2 행렬이다.

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )\right]^{2}+q\phi }$

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 파울리 방정식이 나온다. 이 해밀토니언은 전자기장과 상호작용하는 전하를 띤 입자에 대한 고전적인 해밀토니언과 유사하다. 이 고전적인 경우에 대한 자세한 내용은 로런츠 힘을 참조하라. 전자기장이 없는 자유 입자의 운동 에너지 항은 단순히 ${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$이며, 여기서 ${\displaystyle \mathbf {p} }$는 운동량이지만, 전자기장이 있는 경우에는 최소 결합 ${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} -q\mathbf {A} }$를 포함하며, 여기서 ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$는 운동량이고 ${\displaystyle \mathbf {p} }$는 정준 운동량이다.

파울리 연산자는 파울리 벡터 항등식을 사용하여 운동 에너지 항에서 제거할 수 있다:

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)}$

벡터와 달리 미분 연산자 ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$는 자신과의 외적이 0이 아님을 유의하라. 이는 스칼라 함수 ${\displaystyle \psi }$에 적용된 외적을 고려하면 알 수 있다:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\times \left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)\right]\psi &=-q\left[\mathbf {\hat {p}} \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\mathbf {\hat {p}} \psi \right)\right]\\&=iq\hbar \left[\nabla \times \left(\mathbf {A} \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]\\&=iq\hbar \left[\psi \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)-\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)+\mathbf {A} \times \left(\nabla \psi \right)\right]=iq\hbar \mathbf {B} \psi \end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$는 자기장이다.

완전한 파울리 방정식의 경우, 다음을 얻는다^[2]

파울리 방정식 (표준형)

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

이 방정식은 균일한 자기장을 갖는 란다우 양자화 또는 이상적인 쿨롱형 비균일 자기장의 맥락에서 알려진 몇 가지 해석적 결과만 있다.^[3]

약한 자기장

자기장이 상수이고 균일한 경우, 대칭 게이지 ${\textstyle \mathbf {\hat {A}} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} }$를 사용하여 ${\textstyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} )^{2}}$를 확장할 수 있다. 여기서 ${\textstyle \mathbf {r} }$은 위치 연산자이고 A는 이제 연산자이다. 우리는 다음을 얻는다.

${\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {\hat {A}} )^{2}=|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {p}} )\cdot \mathbf {B} +{\frac {1}{4}}q^{2}\left(|\mathbf {B} |^{2}|\mathbf {\hat {r}} |^{2}-|\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {r}} |^{2}\right)\approx \mathbf {\hat {p}} ^{2}-q\mathbf {\hat {L}} \cdot \mathbf {B} \,,}$

여기서 ${\textstyle \mathbf {\hat {L}} }$은 입자의 각운동량 연산자이며 자기장 제곱 ${\textstyle B^{2}}$의 항은 무시했다. 따라서 다음을 얻는다.

파울리 방정식 (약한 자기장)

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left[|\mathbf {\hat {p}} |^{2}-q(\mathbf {\hat {L}} +2\mathbf {\hat {S}} )\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

여기서 ${\textstyle \mathbf {S} =\hbar {\boldsymbol {\sigma }}/2}$는 입자의 스핀이다. 스핀 앞에 있는 계수 2는 디랙 G-상수로 알려져 있다. ${\textstyle \mathbf {B} }$ 항은 ${\textstyle -{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$ 형태이며, 이는 제이만 효과와 같이 자기 모멘트 ${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}}$와 자기장 사이의 일반적인 상호작용이다.

등방성 상수 자기장에 있는 전하 ${\textstyle -e}$의 전자에서, 전체 각운동량 ${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$와 위그너-에카르트 정리를 사용하여 방정식을 더 줄일 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

${\displaystyle \left[{\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}+\mu _{\rm {B}}g_{J}m_{j}|\mathbf {B} |-e\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

여기서 ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m}}}$는 보어 마그네톤이고 ${\textstyle m_{j}}$는 ${\textstyle \mathbf {J} }$와 관련된 자기양자수이다. ${\textstyle g_{J}}$ 항은 랑데 지 인자로 알려져 있으며, 여기서는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {{\frac {3}{4}}-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}},}$^[a]

여기서 ${\displaystyle \ell }$은 ${\displaystyle L^{2}}$와 관련된 궤도 양자수이고 ${\displaystyle j}$는 ${\displaystyle J^{2}}$와 관련된 전체 궤도 양자수이다.

디랙 방정식으로부터의 유도

파울리 방정식은 스핀-1/2 입자의 상대론적 양자 운동 방정식인 디랙 방정식의 비상대론적 한계에서 추론할 수 있다.^[4]

유도

디랙 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다: $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{2}\\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi _{1}\end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}+mc^{2}\,{\begin{pmatrix}\psi _{1}\\-\psi _{2}\end{pmatrix}},}$$

여기서 ${\textstyle \partial _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}}$이고 ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$는 두 성분 스피너이며, 디랙 스피너를 형성한다.

다음 가정을 사용하면: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}=e^{-i{\tfrac {mc^{2}t}{\hbar }}}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}},}$$ 두 개의 새로운 스피너 ${\displaystyle \psi ,\chi }$를 사용하면 방정식은 다음과 같이 된다. $${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}=c\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\chi \\{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi \end{pmatrix}}+q\,\phi \,{\begin{pmatrix}\psi \\\chi \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\,mc^{2}\,\chi \end{pmatrix}}.}$$

비상대론적 한계에서 ${\displaystyle \partial _{t}\chi }$와 운동 및 정전기 에너지는 정지 에너지 ${\displaystyle mc^{2}}$에 비해 작으며, 이는 레비-르블롱 방정식으로 이어진다.^[5] 따라서$${\displaystyle \chi \approx {\frac {{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}\,\psi }{2\,mc}}\,.}$$

디랙 방정식의 상위 성분에 삽입하면 파울리 방정식(일반형)을 얻는다: $${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\,\psi =\left[{\frac {({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right]\psi .}$$

폴디-워슈이젠 변환으로부터

파울리 방정식의 엄밀한 유도는 외부 장에서의 디랙 방정식과 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/mc)}$ 차수까지의 항을 고려한 폴디-워슈이젠 변환^[4]을 수행함으로써 얻어진다. 마찬가지로, 파울리 방정식에 대한 고차 보정은 대신 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/(mc)^{2})}$ 차수까지 확장할 때 스핀-궤도 및 다윈 상호작용 항을 발생시킨다.^[6]

파울리 결합

파울리 방정식은 g-인자 g=2를 제공하는 최소 결합을 요구하여 유도된다. 대부분의 기본 입자는 2와 다른 비정상적인 g-인자를 갖는다. 상대론적 양자장론 영역에서는 비정상적인 인자를 추가하기 위해 때때로 파울리 결합이라고 불리는 비최소 결합을 정의한다.

${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }\to \gamma ^{\mu }p_{\mu }-q\gamma ^{\mu }A_{\mu }+a\sigma _{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

여기서 ${\displaystyle p_{\mu }}$는 사차원 운동량 연산자, ${\displaystyle A_{\mu }}$는 전자기 퍼텐셜, ${\displaystyle a}$는 이상자기쌍극자모멘트에 비례하고, ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$는 전자기장 텐서이며, ${\textstyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]}$는 로렌츠 스핀 행렬이자 디랙 행렬 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$의 교환자이다.^[7][8] 비상대론적 양자역학의 맥락에서, 슈뢰딩거 방정식을 사용하는 대신, 파울리 결합은 임의의 g-인자에 대한 파울리 방정식(또는 제이만 에너지 가정)을 사용하는 것과 동일하다.

같이 보기

• 반고전론
• 원자 분자 광 물리학
• 군 축약
• 고든 분해

내용주

1. 여기서 사용된 공식은 스핀-1/2 입자에 대한 것으로, g-인자 ${\textstyle g_{S}=2}$와 궤도 g-인자 ${\textstyle g_{L}=1}$을 가진다. 더 일반적으로는 다음과 같이 주어진다:${\displaystyle g_{J}={\frac {3}{2}}+{\frac {m_{s}(m_{s}+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}.}$ 여기서 ${\displaystyle m_{s}}$는 ${\displaystyle {\hat {S}}}$와 관련된 스핀 양자수이다.