준열린집합

일반위상수학에서 준열린집합(準-集合, 영어: almost open set) 또는 베르 성질 집합(Baire性質集合, 영어: set with the property of Baire)은 열린집합 또는 닫힌집합에 제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Meag} (X)=\{S\subseteq X\colon \operatorname {int} (\operatorname {cl} (X))=\varnothing \}}$: 제1 범주 집합들의 족
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)}$: 열린집합들의 족
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)}$: 닫힌집합들의 족
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)}$: F_σ 집합들의 족
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X)}$: G_δ 집합들의 족
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)}$: 보렐 집합들의 족

또한, ${\displaystyle \operatorname {\sigma } ({\mathcal {F}})}$가 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 ${\displaystyle \operatorname {BP} (X)}$라고 표기하자.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {BP} (X)&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\right)\\&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\right)\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle A\mathop {\triangle } B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$은 대칭차이다. ${\displaystyle \operatorname {BP} (X)}$의 원소를 ${\displaystyle X}$의 준열린집합이라고 한다.^{[1]:47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23}

증명:

다음 기호를 정의하자.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}'&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\right)\\{\mathcal {A}}''&=\operatorname {\sigma } \left(\operatorname {Meag} (X)\cup {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)\right)\\{\mathcal {B}}&=\left\{S\subseteq X\colon \exists U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } U\in \operatorname {Meag} (X)\right\}\\{\mathcal {B}}'&=\left\{S\subseteq X\colon \exists F\in {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X)\colon A\mathop {\triangle } F\in \operatorname {Meag} (X)\right\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {B}}\}\\{\mathcal {C}}&=\{A\setminus M\colon A\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}\\{\mathcal {C}}'&=\{A\cup M\colon A\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X),\;M\in \operatorname {Meag} (X)\}=\{X\setminus S\colon S\in {\mathcal {C}}\}\\\end{aligned}}}$

보렐 시그마 대수는 정의에 따라 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}(X)=\sigma ({\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X))=\sigma ({\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}(X))}$이므로, 자명하게

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}'={\mathcal {A}}''}$

이다. 또한, 자명하게

${\displaystyle {\mathcal {C}}\cup {\mathcal {C}}'\subseteq {\mathcal {A}}''\subseteq \sigma ({\mathcal {B}})=\sigma ({\mathcal {B}}')}$

이다. 또한,

${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'\iff {\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {C}}}$

임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})}$

를 보이면 족하다.

• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}'}$: 임의의 집합 ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}}$ 및 ${\displaystyle U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle S\triangle U\subseteq A_{0}\cup A_{1}\cup \cdots }$이며, ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$가 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M=\operatorname {cl} (A_{0})\cup \operatorname {cl} (A_{1})\cup \cdots \in \operatorname {Meag} (X)\cap {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}(X)}$이다. 이제 ${\displaystyle {\tilde {S}}=U\setminus M\in {\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}(X)}$을 정의하자. 그렇다면, ${\displaystyle S\setminus {\tilde {S}}\subseteq M}$이므로 ${\displaystyle S\setminus {\tilde {S}}\in \operatorname {Meag} (X)}$이며, ${\displaystyle S={\tilde {S}}\cup (S\setminus {\tilde {S}})}$이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {B}})}$:
  • 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다.
  • 여집합에 대한 닫힘: 편의상, ${\displaystyle A\triangle B\in \operatorname {Meag} (X)}$를 ${\displaystyle A\approx B}$로 표기하자. 임의의 ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$에 대하여, ${\displaystyle U\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)}$이며 ${\displaystyle A\approx U}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X\setminus A\approx X\setminus U}$이며, ${\displaystyle U\approx \operatorname {cl} (U)}$이므로 ${\displaystyle X\setminus A\approx X\setminus \operatorname {cl} (U)\in {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}(X)}$이다.

성질

함의 관계

위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

		정칙 열린집합 ⇒ 열린집합
	⇗		⇘
열린닫힌집합				보렐 집합
	⇘		⇗		⇘
		정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합				준열린집합 ⇒ 부분 집합
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조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합

연산에 대한 닫힘

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,

• 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
• 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
• 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.

모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

예

선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

역사

르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.^[2]