초특별군

군론에서, 초특별군(超特別群, 영어: extraspecial group)은 크기가 소수의 거듭제곱이며, 중심이 그 소수 크기의 순환군이며, 중심에 대한 몫군이 그 소수 크기의 순환군들의 직접곱인 유한군이다.

정의

유한군 ${\displaystyle G}$가 어떤 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여 다음 세 조건을 만족시킨다면, 초특별군이라고 한다.

• ${\displaystyle |G|\in \{1,p,p^{2},\dotsc \}}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)\cong \operatorname {Cyc} (p)}$. 즉, 그 중심이 크기 ${\displaystyle p}$의 순환군이다.
• ${\displaystyle G/\operatorname {Z} (G)\cong \operatorname {Cyc} (p)^{n}}$인 양의 정수 ${\displaystyle n}$이 존재한다. (특히, ${\displaystyle n>0}$이므로, ${\displaystyle G}$는 아벨 군이 될 수 없다.)

성질

모든 ${\displaystyle p}$-초특별군의 크기는

${\displaystyle p^{1+2n}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}$

의 꼴이다. 반대로, 임의의 ${\displaystyle p^{1+2n}}$의 꼴의 수에 대하여, 이 크기의 초특별군은 (군의 동형 아래) 정확히 2개가 있다.

초특별군의 교환자 부분군은 중심과 같으며, 그 프라티니 부분군 역시 중심과 같다.

연산

두 군 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$ 및 군의 동형 사상

${\displaystyle \theta \colon \operatorname {Z} (G)\to \operatorname {Z} (H)}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$의 ${\displaystyle \theta }$에 대한 중심곱(中心곱, 영어: central product)은 다음과 같다.

${\displaystyle G\star H={\frac {G\times H}{\{(g,h)\in \operatorname {Z} (G)\times \operatorname {Z} (H)\colon \theta (g)h=1\}}}}$

이는 일반적으로 ${\displaystyle \theta }$에 의존하지만, 만약 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$가 둘 다 초특별군일 경우 이는 (군의 동형 아래) 유일하다. 또한, 두 초특별군의 중심곱은 초특별군이다.

또한, 초특별군의 중심곱은 군의 동형 아래 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의 초특별군 ${\displaystyle G,H,K}$에 대하여

${\displaystyle G\star H\cong H\star G}$

${\displaystyle (G\star H)\star K\cong G\star (H\star K)}$

이다. (그러나 이 동형이 표준적일 필요는 없다.)

분류

임의의 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여, 모든 ${\displaystyle p}$-초특별군은 크기 ${\displaystyle p^{3}}$의 초중심곱들의 중십곱으로 표현된다. 즉, ${\displaystyle p}$-초특별군의 분류는 크기 ${\displaystyle p^{3}}$의 초특별군들의 분류로 귀결된다.

짝수 p

${\displaystyle p=2}$일 때, 크기 8의 두 2-초특급군은 다음 두 개이다.

${\displaystyle \operatorname {Dih} (4)}$ (크기 8의 정이면체군)

${\displaystyle Q_{8}=\{\pm \mathrm {i} ,\pm \mathrm {j} ,\pm \mathrm {k} ,\pm 1\}}$ (사원수군)

이들은 다음을 만족시킨다.

${\displaystyle Q_{8}\star Q_{8}\cong \operatorname {Dih} (4)\star \operatorname {Dih} (4)}$

즉, 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 크기 ${\displaystyle 2^{1+2n}}$의 2-초특급군은 다음 두 개이다.

• 짝수 개의 ${\displaystyle Q_{8}}$을 포함하는 것
• 홀수 개의 ${\displaystyle Q_{8}}$을 포함하는 것

홀수 p

${\displaystyle p\geq 3}$일 때, 크기 ${\displaystyle p^{3}}$의 두 ${\displaystyle p}$-초특급군은 다음 두 개이다.

${\displaystyle G_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {F} _{p}\right\}\leq \operatorname {GL} (3;\mathbb {F} _{p})}$

${\displaystyle G_{2}=\operatorname {Cyc} (p^{2})\rtimes \operatorname {Cyc} (p)}$

${\displaystyle G_{2}}$에서, 반직접곱에 사용되는, ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (p)}$의, ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (p^{2})}$ 위의 작용은 자명하지 않은 임의의 작용이다.

이들은 다음을 만족시킨다.

${\displaystyle G_{1}\star G_{1}\cong G_{2}\star G_{2}}$

이에 따라, 임의의 주어진 크기에 대하여, ${\displaystyle p}$-초특급군은 ${\displaystyle G_{2}}$를 짝수 개 포함하는 것과 홀수 개 포함하는 것의 두 가지가 있다.

참고 문헌

• Blackburn, Simon R. (1999), “Groups of prime power order with derived subgroup of prime order”, 《Journal of Algebra》 219 (2): 625–657, doi:10.1006/jabr.1998.7909, ISSN 0021-8693, MR 1706841
• Gorenstein, D. (1980), 《Finite Groups》, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 569209
• Newman, M. F. (1960), “On a class of nilpotent groups”, 《Proceedings of the London Mathematical Society》, Third Series 10: 365–375, doi:10.1112/plms/s3-10.1.365, ISSN 0024-6115, MR 0120278
• Shelah, Saharon; Steprāns, Juris (1987), “Extraspecial p-groups”, 《Annals of Pure and Applied Logic》 34 (1): 87–97, doi:10.1016/0168-0072(87)90041-8, ISSN 0168-0072, MR 887554

외부 링크

• “Extraspecial group” (영어). 《Groupprops》.