프라티니 부분군

군론에서 프라티니 부분군(Frattini部分群, 영어: Frattini subgroup)은 어떤 군의, “매우 작은” 원소들만으로 구성된 정규 부분군이다. 구체적으로, “너무 작아서” 군을 생성할 때 불가결할 경우가 절대 없으며, 또한 모든 극대 진부분군에 속하는 원소들만으로 구성된다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 부분군들의 족을

${\displaystyle \operatorname {Sub} (G)}$

라고 하자. 이는 부분 집합 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이루며, 이는 사실 완비 격자를 이룬다. 이 완비 격자에서, 하한은 교집합이다. (그러나 상한은 합집합이 아니다.) 그 최대 원소는 물론 ${\displaystyle G\in \operatorname {Sub} (G)}$이다.

이제, ${\displaystyle \operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\}}$의 극대 원소들의 집합

${\displaystyle \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})\subseteq \operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\}}$

을 생각하자. (이는 공집합일 수 있다.)

군 ${\displaystyle G}$의 원소 ${\displaystyle a}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 비생성원(非生成元, 영어: non-generating element)라고 하자.

• 만약 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq G}$가 ${\displaystyle G}$를 생성하며, ${\displaystyle a\in S}$라면, ${\displaystyle S\setminus \{a\}}$ 역시 ${\displaystyle G}$를 생성한다.

이제, 다음 두 부분 집합이 일치하며, 이를 ${\displaystyle G}$의 프라티니 부분군이라고 하고, ${\displaystyle \operatorname {\Phi } (G)}$로 표기한다.

• ${\displaystyle \textstyle \bigcap \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})}$ (즉, ${\displaystyle G}$의 모든 극대 진부분군들의 교집합)
• ${\displaystyle G}$의 비생성원들의 집합

(여기서, ${\displaystyle \textstyle \bigcap \varnothing =G}$이다. 즉, 만약 극대 진부분군이 없다면, 프라티니 부분군은 ${\displaystyle G}$ 전체이다.)

증명 (비생성원 ⇒ 모든 극대 진부분군에 속함):

${\displaystyle g\in G}$가 비생성원이라고 하고, ${\displaystyle M\in \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})}$가 ${\displaystyle G}$의 극대 진부분군이라고 하자. 이제, ${\displaystyle a\not \in M}$이라면, ${\displaystyle M\cup \{g\}}$로 생성되는 부분군을 생각하자. ${\displaystyle M}$이 극대 진부분군이므로, 이는 ${\displaystyle G}$이다. 그런데 ${\displaystyle M\cup \{a\}}$은 ${\displaystyle G}$의 생성 집합이지만 ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle G}$의 생성 집합이 아니다. 따라서 이는 모순이다.

증명 (비생성원이 아님 ⇒ 속하지 않는 극대 진부분군이 존재):

어떤 원소 ${\displaystyle g\in G}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle S\cup \{g\}}$가 ${\displaystyle G}$를 생성하지만, ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle G}$를 생성하지 않는다고 하자.

이제, ${\displaystyle S}$를 포함하며, ${\displaystyle g}$를 포함하지 않는 모든 부분군들의 족

${\displaystyle \{H\in \operatorname {Sub} (G)\colon g\not \in H\supseteq S\}}$

을 생각하자. 초른 보조정리에 따라, 이는 적어도 하나의 극대 원소 ${\displaystyle M\leq G}$를 갖는다. 이제, 이 부분군이 ${\displaystyle G}$의 극대 진부분군임을 보이면 족하다.

${\displaystyle M}$을 포함하는 임의의 부분군 ${\displaystyle M<N\leq G}$를 생각하자. 이제, ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle \{H\in \operatorname {Sub} (G)\colon g\not \in H\supseteq S\}}$의 극대 원소이므로, ${\displaystyle g\in N}$이다. 그러므로, ${\displaystyle N=G}$이다. 따라서, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle g}$를 포함하지 않는, ${\displaystyle G}$의 극대 진부분군이다.

성질

군 ${\displaystyle G}$의 프라티니 부분군은 항상 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다.

증명:

${\displaystyle G}$의 프라티니 부분군은 ${\displaystyle G}$의 부분군들의 완비 격자에 의하여 결정된다. ${\displaystyle G}$의 극대 진부분군의 집합은 ${\displaystyle G}$의 모든 자기 동형 사상 아래 불변이며, 따라서 그 교집합인 프라티니 부분군 역시 마찬가지다. 특히, 켤레 사상은 군의 자기 동형 사상이므로, 프라티니 부분군은 정규 부분군이다.

만약 ${\displaystyle G}$가 유한군이라면, 그 프라티니 부분군은 멱영군이다.

증명:

유한군이 멱영군일 필요충분조건은 모든 쉴로브 부분군이 정규 부분군인 것이므로, 임의의 소수 ${\displaystyle p}$ 및 ${\displaystyle \Phi (G)}$의 쉴로브 ${\displaystyle p}$-부분군 ${\displaystyle P}$에 대하여, ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle \Phi (G)}$의 정규 부분군임을 보이는 것으로 족하다. ${\displaystyle \Phi (G)\vartriangleleft G}$이므로, 프라티니 논증에 따라

${\displaystyle G=\Phi (G)\operatorname {N} _{G}(P)}$

이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(P)=G}$를 함의한다. 사실, 만약 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(P)}$가 ${\displaystyle G}$의 진부분군이라면, ${\displaystyle G}$가 유한군이므로, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(P)}$를 포함하는 ${\displaystyle G}$의 극대 진부분군이 존재한다. 그런데 이 극대 진부분군은 ${\displaystyle \Phi (G)}$ 역시 포함하므로, ${\displaystyle G}$ 전체이다. 이는 모순이다. 따라서 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(P)=G}$이다. 즉, ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이며, 특히 ${\displaystyle \Phi (G)}$의 정규 부분군이다.

임의의 군 ${\displaystyle G}$ 및 유한 정규 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$에 대하여,

${\displaystyle \Phi (N)\leq \Phi (G)}$

이다.

증명:

${\displaystyle \Phi (N)}$을 포함하지 않는 극대 진부분군 ${\displaystyle M<G}$가 존재한다고 가정하자. ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$이며 ${\displaystyle \Phi (N)}$이 ${\displaystyle N}$의 특성 부분군이므로, ${\displaystyle \Phi (N)\vartriangleleft G}$이다. 따라서, ${\displaystyle \Phi (N)\cup M}$으로 생성되는 부분군은 ${\displaystyle M\Phi (N)}$이다. ${\displaystyle M}$이 극대 진부분군이므로, ${\displaystyle M\Phi (N)=G}$이며,

${\displaystyle (M\cap N)\Phi (N)=N}$

이다. ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle \Phi (N)}$을 포함하지 않으므로, ${\displaystyle N}$ 역시 포함하지 않으며, ${\displaystyle M\cap N}$은 ${\displaystyle N}$의 진부분군이다. ${\displaystyle N}$이 유한군이므로, ${\displaystyle M\cap N}$을 포함하는 ${\displaystyle N}$의 극대 진부분군이 존재한다. 그런데 이 극대 진부분군은 ${\displaystyle \Phi (N)}$ 역시 포함하므로, ${\displaystyle N}$ 전체이다. 이는 모순이다.

임의의 두 유한군 ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$에 대하여,

${\displaystyle \operatorname {\Phi } (G\times H)=\operatorname {\Phi } (G)\times \operatorname {\Phi } (H)}$

이다.

p-군

번사이드 기저 정리(영어: Burnside basis theorem)에 따르면, 임의의 유한 p-군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음이 성립한다.^{[1]:140, §5.3.2}

• ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}G^{(1)}}$. 여기서 ${\displaystyle G^{p}}$는 ${\displaystyle G}$의 원소의 ${\displaystyle p}$제곱들로 생성된 ${\displaystyle G}$의 부분군이며, ${\displaystyle G^{(1)}}$는 ${\displaystyle G}$의 교환자 부분군이다. 따라서, ${\displaystyle \Phi (G)}$는 ${\displaystyle G/\Phi (G)}$가 유한 개의 크기 ${\displaystyle p}$의 순환군의 직접곱이 되게 만드는, ${\displaystyle G}$의 최소의 정규 부분군이다.
• ${\displaystyle [G:\Phi (G)]=p^{r}}$라고 하자. 그렇다면, 만약 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle G}$의 생성 집합이라면, ${\displaystyle S'\subseteq S}$이며, 크기가 ${\displaystyle r}$인 ${\displaystyle G}$의 생성 집합 ${\displaystyle S'}$이 존재한다. 특히, ${\displaystyle G}$의 임의의 극소 생성 집합의 크기는 ${\displaystyle r}$이다. 특히, ${\displaystyle G}$가 순환군일 필요충분조건은 ${\displaystyle G/\Phi (G)}$가 순환군인 것이다.

번사이드 기저 정리는 유한 p-군의 이론에서 여러 응용이 있다. 예를 들어, 임의의 유한 p-군 ${\displaystyle G}$의 극대 진부분군의 수는

${\displaystyle {\frac {[G:\Phi (G)]-1}{p-1}}}$

이다.

예

크기 8의 정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} (4)}$의 부분군들의 하세 도표는 다음과 같다.

이 경우, 극대 진부분군들은 위에서 둘째 줄의 세 부분군들이다. ${\displaystyle \operatorname {Dih} (4)}$의 프라티니 부분군은 이들의 교집합(하한)인, 셋째 줄의 가운데에 있는 부분군 {F, Ⅎ}이다.

초특별군의 프라티니 부분군은 그 중심과 일치하며, 소수 크기의 순환군이다.

극대 진부분군이 없는 군

유리수체의 덧셈군 ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$을 생각하자. 이는 극대 진부분군을 갖지 않으며, 따라서 그 프라티니 부분군은 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 전체이다.

마찬가지로, 자명군은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 그 진부분군은 자명군이다.

역사

프라티니 (1900년대 촬영 사진)

조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini, 1852~1925)가 1885년에 도입하였다.^[2] 이 논문에서 프라티니는 프라티니 부분군의 두 정의가 서로 동치임을 증명하였다.

같이 보기

• 프라티니 논증