초한수

수학에서 초한수(超限數, 영어: transfinite number)는 유한하지 않은 순서수와 기수를 뜻한다. 모든 유한한 수보다 크지만, 절대적 무한은 아니다. 게오르크 칸토어가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다.

칸토어

순서수

칸토어가 정의한 순서수는 모든 쌍의 원소가 비교 가능한 순서가 부여되었고, 모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는 집합이되, 둘 사이에 순서를 보존하는 일대일 대응이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는 개념이다. 가장 작은 초한 순서수 ${\displaystyle \omega }$는 표준적인 순서를 갖춘 양의 정수의 집합 ${\displaystyle 1<2<\cdots }$에 대응하는 순서수이다. 그 다음 순서수 ${\displaystyle \omega +1}$는 ${\displaystyle 1<2<\cdots <\omega }$에 대응하는 순서수이며, 그 다음 순서수 ${\displaystyle \omega +2}$는 ${\displaystyle 1<2<\cdots <\omega <\omega +1}$에 대응한다. 처음 몇 초한 순서수들은 다음과 같다.^[1]:§41.8

${\displaystyle \omega ,\omega +1,\dots ,\omega 2,\omega 2+1,\dots ,\omega 3,\omega 3+1,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots }$

기수

마찬가지로, 칸토어가 정의한 기수는 집합에서 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다면 서로 같다고 보아 얻는다. 가장 작은 초한 기수 ${\displaystyle \aleph _{0}}$(알레프 0)은 모든 자연수의 집합에 대응한다. 마찬가지로 ${\displaystyle \aleph _{1}}$은 모든 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ 크기의 순서수의 집합에 대응하며, ${\displaystyle \aleph _{2}}$는 모든 ${\displaystyle \aleph _{1}}$ 크기의 순서수의 집합에 대응한다. 처음 몇 초한 기수들은 다음과 같다.^[1]:§41.8

${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots ,\aleph _{\omega },\dots }$

역사

19세기 말에 게오르크 칸토어가 처음 도입하였다.^[1]:§41.8

같이 보기

• 알레프 수
• 베트 수
• 초한 귀납법