외측도

측도론에서 외측도(外測度, 영어: outer measure)는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.^[1][2]

정의

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 (추상적) 외측도((抽象的)外測度, 영어: (abstract) outer measure)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수

${\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$

이다.

• ${\displaystyle \mu ^{*}(\varnothing )=0}$
• 임의의 ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle \mu ^{*}(S)\leq \mu ^{*}(T)}$
• (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ (${\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}}$)에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \mu ^{*}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\leq \sum \mu ^{*}({\mathcal {S}})}$

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 외측도 ${\displaystyle \mu ^{*}}$에 대한 카라테오도리 가측 집합(Καραθεοδωρή可測集合, 영어: Carathéodory measurable set)은 다음 조건을 만족시키는 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle T\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\mu ^{*}(S\cap T)+\mu ^{*}(T\setminus S)}$

카라테오도리 가측 집합의 집합은 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}$로 표기한다.

성질

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 외측도 ${\displaystyle \mu ^{*}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}$는 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$의 부분 시그마 대수를 이루며, ${\displaystyle \mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})}}$는 ${\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))}$ 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, ${\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}),\mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})})}$는 완비 측도 공간이다.

거리 외측도

거리 공간 ${\displaystyle (X,d_{X})}$ 속 두 집합 ${\displaystyle S,T\subseteq X}$ 사이의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle d_{X}(S,T)=\inf _{\scriptstyle s\in S \atop t\in T}d_{X}(s,t)}$

거리 공간 ${\displaystyle (X,d_{X})}$ 위의 외측도 ${\displaystyle \mu ^{*}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle \mu ^{*}}$를 거리 외측도(距離外測度, 영어: metric outer measure)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle S,T\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle d_{X}(S,T)>0}$이라면, ${\displaystyle \mu ^{*}(S\cup T)=\mu ^{*}(S)+\mu ^{*}(T)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}$. 즉, 모든 보렐 집합은 ${\displaystyle \mu ^{*}}$-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X),\mu ^{*}|_{{\mathcal {B}}(X)})}$는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)^{[3]:140, §7.14.x, Theorem 7.14.29}
• 모든 열린집합은 ${\displaystyle \mu ^{*}}$-카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간 ${\displaystyle (X,d_{X})}$ 위의 거리 외측도 ${\displaystyle \mu ^{*}}$가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 ${\displaystyle (X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$는 가측 함수이다.^{[4]:53, Property 2. 2}

카라테오도리 확장 정리

 이 부분의 본문은 카라테오도리 확장 정리입니다.

집합 ${\displaystyle X}$ 속의 집합 반환은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$이다.

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$
• (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}}$에 대하여, ${\displaystyle S\cap T\in {\mathcal {S}}}$
• 임의의 ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {S}}}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle S\setminus T=\bigcup {\mathcal {F}}}$인 유한 개의 서로소 집합들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ (${\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}}$)이 존재한다.

집합 ${\displaystyle X}$ 속의 집합 반환 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수

${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle \mu }$를 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 위의 준측도(準測度, 영어: premeasure)라고 한다.^{[1]:20, §1.3.1, Definition 1.3.2[2]:170, §11, Problem 11.2}

• (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ (${\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}}$)에 대하여, 만약 ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}$이라면, ${\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})}$. (특히, ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing }$을 생각하면 ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$을 얻는다.)
• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ (${\displaystyle |{\mathcal {T}}|<\aleph _{0}}$)에 대하여, 만약 ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}$이라면, ${\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})}$. (특히, ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\varnothing }$을 생각하면 ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$을 얻는다.)
  • (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ (${\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}}$)에 대하여, 만약 ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}$이라면, ${\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)\leq \sum \mu ({\mathcal {T}})}$

집합 ${\displaystyle X}$ 속의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$가 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 ${\displaystyle X}$
• 집합 반환 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$
• 준측도 ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]}$

이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle \mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \mu ^{*}\colon A\mapsto \inf \left\{\sum \mu ({\mathcal {T}})\colon {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\;|{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0},\;A\subseteq \bigcup {\mathcal {T}}\right\}}$

카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.

• ${\displaystyle \mu ^{*}}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 외측도이다.
• ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})}$
• ${\displaystyle \mu ^{*}|_{\mathcal {S}}=\mu }$
• 만약 ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup {\mathcal {T}}}$이며 ${\displaystyle \infty \not \in \mu ({\mathcal {T}})}$인 가산 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ (${\displaystyle |{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}}$)이 존재한다면, ${\displaystyle \mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})}}$는 ${\displaystyle (\mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})})|_{\mathcal {S}}=\mu }$를 만족시키는 유일한 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$ 위의 측도이다.

그러나 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$보다 큰 시그마 대수 위에서 ${\displaystyle \mu }$의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

예

1차원 르베그-스틸티어스 외측도

 이 부분의 본문은 르베그-스틸티어스 측도입니다.

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 위에서, 구간들의 족

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}=\{(a,b]\}_{-\infty \leq a\leq b<\infty }\cup \{(a,\infty )\}_{-\infty \leq a<\infty }\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$

은 집합 반환을 이루며, ${\displaystyle \mathbb {R} \in {\mathcal {S}}}$이다. 또한, ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$이다.

임의의 증가 함수 ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

${\displaystyle \mu _{F}\colon {\mathcal {S}}_{1}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \mu _{F}\colon (a,b]\mapsto F(b^{+})-F(a^{+})}$

${\displaystyle \mu _{F}\colon (a,\infty )\mapsto F(\infty )-F(a^{+})}$

그렇다면, ${\displaystyle \mu _{F}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ 위의 준측도를 이룬다.^{[1]:33-34, §1.5, Problem 1.22–1.23} 이 경우 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})}$ (또는 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )})}$)를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다.

증명:

자명하게 ${\displaystyle \mu _{F}}$는 ${\displaystyle \mu _{F}(\varnothing )=0}$과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \Sigma _{0}}$ (${\displaystyle |{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}}$) 이 주어졌고, ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma _{0}}$이라고 하자. 편의상 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$의 모든 원소가 유계 구간이며,

${\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=({\widetilde {a}},\infty )}$

${\displaystyle {\widetilde {a}}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(\infty )<\infty }$

라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의 ${\displaystyle [a,b]\subseteq ({\widetilde {a}},\infty )}$ 및 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여,

${\displaystyle \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\epsilon _{(c,d]}=\epsilon }$

인 ${\displaystyle \epsilon _{(c,d]}>0}$을 취하자. 그렇다면 ${\displaystyle x\mapsto F(x^{+})}$가 우연속 함수임에 따라

${\displaystyle F({e_{(c,d]}}^{+})<F(d^{+})+\epsilon _{(c,d]}\qquad \forall (c,d]\in {\mathcal {S}}}$

인 ${\displaystyle e_{(c,d]}>d}$가 존재한다. ${\displaystyle \{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}}$는 ${\displaystyle [a,b]}$의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개

${\displaystyle \{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {F}}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle |{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}}$

를 갖는다. 따라서

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{F}((a,b])&=F(b^{+})-F(a^{+})\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {F}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F(d^{+})-F(c^{+}))+\epsilon \\&=\sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])+\epsilon \end{aligned}}}$

이다. 여기서 첫 번째 부등호는

${\displaystyle \sup\{e_{(c_{n},d_{n}]}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+},\;(c_{1},d_{1}],\dots ,(c_{n},d_{n}]\in {\mathcal {F}},\;a\in (c_{1},e_{(c_{1},d_{1}]}),\;e_{(c_{i},d_{i}]}\in (c_{i+1},e_{(c_{i+1},d_{i+1}]})\forall i\in \{1,\dots ,n-1\}\}>b}$

때문이다. 여기에 ${\displaystyle \epsilon \to 0}$을 취하면

${\displaystyle \mu _{F}((a,b])\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])}$

를 얻으며, 다시 ${\displaystyle a\to {\widetilde {a}}}$ 및 ${\displaystyle b\to \infty }$를 취하면 ${\displaystyle x\mapsto F(x^{+})}$의 우연속성에 따라

${\displaystyle \mu _{F}(({\widetilde {a}},\infty ))\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])}$

를 얻는다.

n차원 르베그-스틸티어스 외측도

 이 부분의 본문은 르베그-스틸티어스 측도입니다.

임의의 ${\displaystyle a_{1},b_{1}\in \mathbb {R} }$에 대하여, 선형 연산자

${\displaystyle \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n-1}}}$

${\displaystyle \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon F\mapsto F(b_{1},\cdot )-F(a_{1},\cdot )}$

를 정의하자.

또한, 임의의 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여,

${\displaystyle \Delta _{a,b}=\Delta _{1,a_{n},b_{n}}\circ \Delta _{2,a_{n-1},b_{n-1}}\circ \cdots \circ \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to \mathbb {R} }$

라고 하자.

함수

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Delta _{a,b}F\geq 0\qquad (a_{i}\leq b_{i})}$

가 주어졌을 때, 집합 반환

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}=\left\{\prod _{i=1}^{n}S_{i}\colon S_{i}\in {\mathcal {S}}_{1}\right\}}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\in {\mathcal {S}}_{n}}$

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}}_{n})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$

위에 준측도

${\displaystyle \mu _{F}\colon \prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\mapsto \lim _{\delta _{i},\epsilon _{i}\to 0^{+}}\Delta _{a+\delta ,b+\epsilon }F}$

를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})}$을 구성할 수 있다.

르베그 외측도

 이 부분의 본문은 르베그 측도입니다.

함수

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F\colon x\mapsto x}$

또는

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F\colon x\mapsto x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 르베그 외측도라고 하며, 이에 대응하는 측도를 르베그 측도라고 한다.

하우스도르프 외측도

 이 부분의 본문은 하우스도르프 측도입니다.

하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.^{[3]:1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30}