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칸토어의 정리
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집합론에서 칸토어의 정리(영어: Cantor's theorem)는 멱집합의 크기가 항상 원래의 집합의 크기보다 크다는 정리이다. 즉, 집합과 멱집합의 원소는 일대일 대응할 수 없다.
정의
칸토어의 정리에 따르면, 멱집합 의 크기는 항상 원래의 집합 의 크기보다 크다. 즉, 다음이 성립한다.
즉, 임의의 기수 에 대하여, 다음이 성립한다.
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증명
요약
관점
만약 이라면,
이므로 성립한다.
만약 이라면, 우선 단사 함수
가 존재하므로,
이다. 또한, 만약
라고 가정하면, 전단사 함수
가 존재한다. 이 경우, 부분 집합
를 구성할 수 있는데, 의 정의에 따라
이며, 이는 모순이다. 즉,
이며, 따라서
이다.
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역사
같이 보기
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