칸토어의 정리

집합론에서 칸토어의 정리(영어: Cantor's theorem)는 멱집합의 크기가 항상 원래의 집합의 크기보다 크다는 정리이다. 즉, 집합과 멱집합의 원소는 일대일 대응할 수 없다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle 2^{X}}$는 ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합의 집합이다.

칸토어의 정리에 따르면, 멱집합 ${\displaystyle 2^{X}}$의 크기는 항상 원래의 집합 ${\displaystyle X}$의 크기보다 크다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle |2^{X}|>|X|}$

즉, 임의의 기수 ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} }$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa }$

증명

만약 ${\displaystyle X=\varnothing }$이라면,

${\displaystyle |\varnothing |=0<1=|\{\varnothing \}|=|2^{\varnothing }|}$

이므로 성립한다.

만약 ${\displaystyle X\neq \varnothing }$이라면, 우선 단사 함수

${\displaystyle X\to 2^{X}}$

${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$

가 존재하므로,

${\displaystyle |X|\leq |2^{X}|}$

이다. 또한, 만약

${\displaystyle |X|=|2^{X}|}$

라고 가정하면, 전단사 함수

${\displaystyle f\colon X\to 2^{X}}$

가 존재한다. 이 경우, 부분 집합

${\displaystyle f(a)=\{x\in X\colon x\not \in f(x)\}\in 2^{X}\qquad (a\in X)}$

를 구성할 수 있는데, ${\displaystyle f(a)}$의 정의에 따라

${\displaystyle a\in f(a)\iff a\not \in f(a)}$

이며, 이는 모순이다. 즉,

${\displaystyle |X|\neq |2^{X}|}$

이며, 따라서

${\displaystyle |X|<|2^{X}|}$

이다.

역사

게오르크 칸토어가 증명하였다. 이 정리로부터 제기된 의문은 연속체 가설의 토대를 제공하였다.

같이 보기

• 대각선 논법
• 칸토어 역설