칸토어-베른슈타인 정리

집합론에서, 칸토어-베른슈타인 정리(영어: Cantor–Bernstein theorem) 또는 슈뢰더-베른슈타인 정리(영어: Schröder–Bernstein theorem)는 두 집합 사이에 두 방향으로 모두 단사 함수가 존재한다면, 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다는 정리이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 사용하지 않고 증명할 수 있다. 칸토어-베른슈타인 정리에 따라, 기수의 표준적인 순서는 부분 순서이다. 선택 공리를 추가로 가정하면, 기수의 순서가 전순서임을 보일 수 있다.

칸토어-베른슈타인 정리의 최초의 서술

정의

칸토어-베른슈타인 정리는 다음과 같다.^{[1]:28, Theorem 3.2}

• 두 집합 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이에 단사 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$와 ${\displaystyle g\colon Y\to X}$가 존재한다면, 전단사 함수 ${\displaystyle h\colon X\to Y}$가 존재한다.

이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

기수는 같은 수의 원소를 포함하는 집합들을 묶은 동치류로 여길 수 있다. 구체적으로, 만약 전단사 함수 ${\displaystyle X\to Y}$가 존재한다면, ${\displaystyle |X|=|Y|}$라고 정의한다 (${\displaystyle |X|}$는 ${\displaystyle X}$의 크기를 나타내는 기수). 만약 단사 함수 ${\displaystyle X\to Y}$가 존재한다면, ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$라고 정의한다. 물론, 기수의 순서 ${\displaystyle \leq }$의 정의는 기수를 크기로 하는 집합의 선택과 무관하다. 이 순서는 반사 관계이며 (항등 함수는 단사 함수), 추이적 관계이다 (단사 함수의 합성은 단사 함수). 칸토어-베른슈타인 정리는 다음과 같이 적을 수 있다.

• 만약 ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$이며 ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$라면, ${\displaystyle |X|=|Y|}$이다.

즉, 기수의 순서는 반대칭 관계이며, 따라서 부분 순서이다.

정렬 집합들 사이에서는 항상 크기를 비교할 수 있다. 선택 공리를 가정하면, 모든 집합은 정렬 집합과 크기가 같으므로, 모든 집합들의 크기는 비교 가능하다. 즉, 기수의 순서는 전순서이다.

증명

같은 맥락의 여러 증명들이 존재한다.

표준적인 증명

다음과 같이 정의하자.^{[1]:28, Theorem 3.2}

${\displaystyle X_{0}=X}$

${\displaystyle Y_{0}=g(Y)}$

${\displaystyle X_{n+1}=g(f(X_{n}))}$

${\displaystyle Y_{n+1}=g(f(Y_{n}))}$

그러면 일련의 ${\displaystyle X}$의 부분 집합들

${\displaystyle X_{0}\supseteq Y_{0}\supseteq X_{1}\supseteq Y_{1}\supseteq X_{2}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots }$

을 얻는다. (자명하게 ${\displaystyle X_{0}\supseteq Y_{0}}$이다. ${\displaystyle Y\supseteq f(X)}$이므로 ${\displaystyle Y_{0}\supseteq X_{1}}$이다. ${\displaystyle X_{n}\supseteq Y_{n}\supseteq X_{n+1}}$에 ${\displaystyle g\circ f}$에 대한 상을 씌우면 ${\displaystyle X_{n+1}\supseteq Y_{n+1}\supseteq X_{n+2}}$를 얻는다.) 이제, 함수 ${\displaystyle h\colon X\to Y}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}f(x)&\exists n=0,1,\dots \colon x\in X_{n}\setminus Y_{n}\\g^{-1}(x)&\not \exists n=0,1,\dots \colon x\in X_{n}\setminus Y_{n}\end{cases}}}$

(${\displaystyle g}$는 전단사 함수일 필요가 없으므로 역함수를 가질 필요가 없지만, 공역을 제한하여 부분적인 역함수 ${\displaystyle g^{-1}\colon g(Y)\to Y}$를 정의할 수 있다.) 이제 ${\displaystyle h}$가 단사 함수이자 전사 함수임을 보이면 충분하다.

• ${\displaystyle h}$는 단사 함수
  • ${\displaystyle h}$는 ${\displaystyle (X_{0}\setminus Y_{0})\cup (X_{1}\setminus Y_{1})\cup \cdots }$로 제한되었을 때 ${\displaystyle f}$이며, 그 여집합 ${\displaystyle (Y_{0}\setminus X_{1})\cup (Y_{1}\setminus X_{2})\cup \cdots }$로 제한하면 ${\displaystyle g^{-1}}$이다. ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g^{-1}}$은 단사 함수이다. 따라서, ${\displaystyle (X_{0}\setminus Y_{0})\cup (X_{1}\setminus Y_{1})\cup \cdots }$의 서로 다른 원소 또는 ${\displaystyle (Y_{0}\setminus X_{1})\cup (Y_{1}\setminus X_{2})\cup \cdots }$의 서로 다른 원소의, ${\displaystyle h}$에 대한 상은 서로 다르다. ${\displaystyle g\circ h}$는 ${\displaystyle X_{n}\setminus Y_{n}}$의 원소를 ${\displaystyle X_{n+1}\setminus Y_{n+1}}$의 원소로 보내고, ${\displaystyle Y_{n}\setminus X_{n+1}}$의 원소를 (스스로로 보내므로) ${\displaystyle Y_{n}\setminus X_{n+1}}$로 보낸다. ${\displaystyle X_{n+1}\setminus Y_{n+1}}$와 ${\displaystyle Y_{n}\setminus X_{n+1}}$는 서로 만나지 않는다. 따라서, ${\displaystyle (X_{0}\setminus Y_{0})\cup (X_{1}\setminus Y_{1})\cup \cdots }$의 원소와 ${\displaystyle (Y_{0}\setminus X_{1})\cup (Y_{1}\setminus X_{2})\cup \cdots }$원소의, ${\displaystyle h}$에 대한 상은 서로 다르다.
• ${\displaystyle h}$는 전사 함수
  • ${\displaystyle y\in Y}$라고 하자. ${\displaystyle g(y)\in X_{n}\setminus Y_{n}}$이라면, ${\displaystyle n>0}$이다 (${\displaystyle \because g(y)\in g(Y)=Y_{0}}$). 즉, ${\displaystyle X_{n}=g(f(X_{n-1}))}$, ${\displaystyle Y_{n}=g(f(Y_{n-1}))}$이다. ${\displaystyle g}$가 단사 함수이므로, ${\displaystyle y=f(x)=h(x)}$인 ${\displaystyle x\in X_{n-1}\setminus Y_{n-1}}$이 존재한다. ${\displaystyle g(y)\in Y_{n}\setminus X_{n+1}}$이라면, ${\displaystyle h(g(y))=g^{-1}(g(y))=y}$이다.

쾨니그의 증명

편의상 ${\displaystyle X\cap Y=\varnothing }$이라고 가정하자 (가정이 참이 아니라면, 두 집합을 크기가 같은 두 서로소 집합 ${\displaystyle {\tilde {X}}=\{(0,x)\colon x\in X\}}$와 ${\displaystyle {\tilde {Y}}=\{(1,y)\colon y\in Y\}}$로 대체한다). 단사 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$와 ${\displaystyle g\colon Y\to X}$의 부분적 역함수

${\displaystyle f^{-1}\colon f(X)\to X}$

${\displaystyle g^{-1}\colon g(Y)\to Y}$

를 정의하자. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle X\sqcup Y}$ 위의 열

${\displaystyle \dots ,f^{-1}(g^{-1}(x)),g^{-1}(x),x,f(x),g(f(x)),\dots }$

을 구성할 수 있다. 마찬가지로, 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle X\cup Y}$ 위의 열

${\displaystyle \dots ,g^{-1}(f^{-1}(y)),f^{-1}(y),y,g(y),f(g(y)),\dots }$

을 구성할 수 있다. 이러한 열은 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 원소가 번갈아 가며 나타나며, 오른쪽으로는 끝없이 이어지고, 왼쪽은 끝이 없거나 (${\displaystyle f^{-1}}$나 ${\displaystyle g^{-1}}$가 정의되지 않는) 어떤 ${\displaystyle X}$ 또는 ${\displaystyle Y}$의 원소에서 끝이 난다. 임의의 항은 열을 완전하게 결정하므로, 두 열이 어떤 항을 공유한다면, 두 열은 서로 같다. 즉, 위와 같은 꼴의 열들은 ${\displaystyle X\sqcup Y}$을 분할한다. 따라서, 각 열에 등장하는 ${\displaystyle X}$의 원소와 ${\displaystyle Y}$의 원소 사이의 전단사 함수를 찾으면 충분하다. 임의의 항은 열을 결정하므로, 특히 바로 다음 항을 결정한다. 즉, 임의의 항을 오른쪽의 이웃하는 항으로 대응시키는 함수는 항상 잘 정의된다. 이는 열 속 ${\displaystyle X}$의 원소에서 열 속 ${\displaystyle Y}$의 원소로 가는 전단사 함수이거나, 반대 방향의 전단사 함수이다.

타르스키 고정점 정리를 통한 증명

${\displaystyle X}$의 멱집합 격자 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$는 완비 격자를 이룬다. 함수

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$

${\displaystyle S\mapsto X\setminus g(Y\setminus f(S))}$

는 순서 보존 함수이므로, 타르스키 고정점 정리에 따라 고정점 ${\displaystyle S\subseteq X}$를 갖는다. 즉,

${\displaystyle X\setminus S=g(Y\setminus f(S))}$

이다. 따라서, 전단사 함수

${\displaystyle X\to Y}$

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}f(x)&x\in S\\g^{-1}(x)&x\in X\setminus S\end{cases}}}$

가 존재한다.