큐-팩토리얼

큐-팩토리얼(q-factorial)은 포흐하머 심볼와 큐-넘버가 작동하는 큐-아날로그 팩토리얼(계승)이다.

${\displaystyle [n]_{q}!={{(q;q)_{n}} \over {(1-q)^{n}}}\;\;\;}$ 여기서${\displaystyle \;(q;q)_{n}}$는 큐-포흐하머 기호

계산

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{{1-q^{n}} \over {1-q}}=n}$

${\displaystyle [n]_{q}={{1-q^{n}} \over {1-q}}=q^{0}+q^{1}+q^{2}+\ldots +q^{n-1}}$

${\displaystyle [n]_{q}={{1-q^{n}} \over {1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}}$

${\displaystyle [n]_{q}!=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}$

${\displaystyle \;\;\;\;=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdot [3]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}$

${\displaystyle \;\;\;\;=\left({{1-q} \over {1-q}}\right)\cdot \left({{1-q^{2}} \over {1-q}}\right)\cdot \left({{1-q^{3}} \over {1-q}}\right)\cdots \left({{1-q^{n-1}} \over {1-q}}\right)\cdot \left({{1-q^{n}} \over {1-q}}\right)}$

${\displaystyle \;\;\;=(1)\cdot (1+q)\cdot (1+q+q^{2})\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})}$

${\displaystyle \;\;\;={{(q;q)_{n}} \over {(1-q)^{n}}}\;\;\;}$

성질

${\displaystyle [n]_{q}!=\Gamma _{q}(n+1)=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdot [3]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}$

${\displaystyle n!={{n!} \over {(n-k)!}}}$

${\displaystyle n!=(n-0)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-1)+1)\cdot (n-(n-0)+1)}$

${\displaystyle n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-2))\cdot (n-(n-1))}$

${\displaystyle n!=(1)\cdot (2)\cdot (3)\cdots (n-1)\cdot (n)}$

${\displaystyle q=1(q\to 1)}$

${\displaystyle \therefore \;\;[n]_{1}!=[1]_{1}\cdot [2]_{1}\cdot [3]_{1}\cdots [n-1]_{1}\cdot [n]_{1}=(1)\cdot (2)\cdot (3)\cdots (n-1)\cdot (n)=n!}$

${\displaystyle \therefore \;\;[n]_{q}!={{[n]_{q}!} \over {[n-k]_{q}!}}}$

${\displaystyle \therefore \;\;[n]_{q}!={{[n]_{q}!} \over {[n-n]_{q}!}}={{[n]_{q}!} \over {[0]_{q}!}}}$

${\displaystyle \therefore \;\;[0]_{q}!={{[n]_{q}!} \over {[n]_{q}!}}={1}}$

${\displaystyle [1]_{q}!=1}$

${\displaystyle [2]_{q}!=1+q}$

${\displaystyle [3]_{q}!=(1+q)(1+q+q^{2})=1+2q+2q^{2}+q^{3}}$

${\displaystyle [4]_{q}!=(1+q)(1+q+q^{2})(1+q+q^{2}+q^{3})=1+3q+5q^{2}+6q^{3}+5q^{4}+3q^{5}+q^{6}}$

특수값

• 큐-이항 계수(q-binomial coefficients)

큐-팩토리얼로부터의 가우스 계수, 또는 가우스 다항식으로 알려진 가우스 이항 계수

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={{[n]_{q}!} \over {[k]_{q}!\;[n-k]_{q}!}}}$

큐-다항계수는 다음과 같이 정의 할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\cdots [k_{m}]_{q}!}},}$

• 큐-지수 ${\displaystyle {\color {blue}{e}}}$

${\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{{x^{n}} \over {[n]_{q}!}}}$

• 큐-${\displaystyle sine}$

${\displaystyle \sin _{q}(x)}$

• 큐-파이

${\displaystyle \pi _{q}}$

같이 보기

• 큐-폴리감마 함수
• 큐-아날로그
• 초기하함수