위치의 4차 이상 미분

물리학에서 위치의 4차, 5차, 6차 미분은 시간에 대한 위치 벡터의 n차 미분으로 정의된다. 이때 1차, 2차, 3차 미분은 각각 속도, 가속도, 가가속도이다. 고차 미분은 처음 세 미분보다는 덜 쓰이며,^[1][2] 따라서 그 명칭이 표준화되어 있지 않다. 하지만 최소 스냅 경로의 개념은 로봇공학에서 사용되었다.^[3]

위치의 시간 미분

4차 미분은 스냅(Snap)으로 불리며, 5차와 6차 미분은 "때로는 다소 우스꽝스럽게"^[4] 라이스 크리스피의 마스코트 이름을 따서 크래클(crackle)과 팝(pop)으로 불린다.^[5] 4차 미분은 존스(jounce)라고도 불린다.^[4]

활용

스냅과 가가속도(Jerk)를 최소화하는 것은 기계공학과 토목공학에서 진동을 줄이고 더 부드러운 움직임 전환을 보장하기 때문에 유용하다. 토목공학에서 철도 트랙과 도로는 특히 곡률반지름이 다양한 곡선 주변에서 스냅을 제한하도록 설계된다. 스냅이 일정하면 가가속도가 선형적으로 변하여 구심 가속도가 점진적으로 증가한다. 스냅이 0이면 가속도가 선형적으로 변한다. 이러한 조건은 종종 수학적인 클로소이드 함수를 사용해 만들 수 있다. 롤러코스터 설계자도 루프와 헬릭스에서 부드러운 전환을 사용하여 승차감을 향상시키는 데 동일한 원리를 적용한다.^[1]

기계공학에서 스냅과 가가속도를 제어하는 것은 캠 팔로어가 캠 샤프트에서 이탈하는 것을 방지하기 위한 자동차 설계에서 중요하며, 절삭 공구의 급격한 가속도 변화가 조기 마모와 고르지 않은 표면 마감을 유발할 수 있는 제조에서도 중요하다.^[1] 최소 스냅 및 최소 가가속도 경로는 로봇공학의 경로 생성에도 사용된다. 쿼드콥터의 최소 스냅 경로는 제어 노력을 줄일 수 있으며,^[6] 로봇 매니퓰레이터의 최소 가가속도 경로는 제어 성능을 향상시키고 인간과 로봇 상호 작용을 용이하게 하는 예측 가능한 움직임을 생성한다.

4차 미분 (스냅/존스)

 이 부분의 본문은 가가가속도입니다.

스냅,^[7] 또는 존스^[2]는 시간에 대한 위치 벡터의 4차 미분이며, 가가속도의 변화율이다.^[4] 다시 말해 이는 가속도의 2차 미분 또는 속도의 3차 미분이며, 다음 동등한 표현 중 하나로 정의된다. $${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.}$$다음 방정식은 스냅이 일정할 때 사용된다. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}}$$

여기서

• ${\displaystyle {\vec {s}}}$는 일정한 스냅,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$는 초기 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$는 최종 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$는 초기 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$는 최종 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$는 초기 속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$는 최종 속도,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$는 초기 위치,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$는 최종 위치,
• ${\displaystyle t}$는 초기 상태와 최종 상태 사이의 시간이다.

표기법 ${\displaystyle {\vec {s}}}$ (비서(Visser)가 사용함^[4])는 일반적으로 유사하게 표기되는 변위 벡터와 혼동되어서는 안 된다.

스냅의 차원은 시간의 4제곱당 거리 [LT⁻⁴]이다. 해당 SI 단위는 초의 4제곱당 미터, m/s⁴, m⋅s⁻⁴이다.

5차 미분

시간에 대한 위치 벡터의 5차 미분은 때때로 크래클이라고 불린다.^[5] 이것은 시간에 대한 스냅의 변화율이다.^[5][4] 크래클은 다음 동등한 표현 중 하나로 정의된다. $${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$$

다음 방정식은 크래클이 일정할 때 사용된다. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}}$$

여기서

• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ : 일정한 크래클,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : 초기 스냅,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ : 최종 스냅,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : 초기 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : 최종 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : 초기 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ : 최종 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : 초기 속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ : 최종 속도,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : 초기 위치,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : 최종 위치,
• ${\displaystyle t}$ : 초기 상태와 최종 상태 사이의 시간이다.

크래클의 차원은 [LT⁻⁵]이다. 해당 SI 단위는 m/s⁵이다.

6차 미분

시간에 대한 위치 벡터의 6차 미분은 때때로 팝이라고 불린다.^[5] 이것은 시간에 대한 크래클의 변화율이다.^[5][4] 팝은 다음 동등한 표현 중 하나로 정의된다.

$${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$$

다음 방정식은 팝이 일정할 때 사용된다. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned}}}$$

여기서

• ${\displaystyle {\vec {p}}}$ : 일정한 팝,
• ${\displaystyle {\vec {c}}_{0}}$ : 초기 크래클,
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ : 최종 크래클,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : 초기 스냅,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ : 최종 스냅,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : 초기 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : 최종 가가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : 초기 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ : 최종 가속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : 초기 속도,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ : 최종 속도,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : 초기 위치,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : 최종 위치,
• ${\displaystyle t}$ : 초기 상태와 최종 상태 사이의 시간이다.

팝의 차원은 [LT⁻⁶]이다. 해당 SI 단위는 m/s⁶이다.