탁월한 가환환

가환대수학과 대수기하학에서 탁월한 가환환(卓越한可換環, 영어: excellent commutative ring)은 차원의 개념이 잘 정의되며(즉, 현수환이며), 완비화가 ‘잘 작동하며’, 거의 모든 점들이 특이점이 아니며 (즉, 특이점의 집합이 닫힌집합이며), 이 성질들이 가환대수학의 주요 연산(국소화, 다항식환, 몫환 등)에 대하여 보존되는 뇌터 가환환이다. 즉, 이러한 가환환은 대수기하학이나 대수적 수론에 등장하는 주요 가환환들과 유사한 성질을 갖는다.

정의

가환환의 임의의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여, 국소환의 잉여류체를 ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}$라고 하자.

뇌터 국소 가환환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$에 대하여 다음 조건을 생각하자.

• (G) 임의의 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$ 및 ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}$의 유한 확대 ${\displaystyle K/\kappa ({\mathfrak {p}})}$에 대하여, ${\displaystyle {\hat {R}}\otimes _{R}K}$는 정칙 국소환이다.

여기서 ${\displaystyle {\hat {R}}}$는 ${\displaystyle R}$의 완비 국소환이다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$이 다음 조건들을 만족시킨다면, 탁월한 가환환이라고 한다.^{[1]:Definition 1.7}

• 임의의 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (R)}$에 대하여, ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$이 (G)를 만족시킨다.
• 임의의 유한 생성 ${\displaystyle R}$-가환 결합 대수 ${\displaystyle A}$에 대하여,
  • (C) ${\displaystyle A}$는 현수환이다. (즉, ${\displaystyle R}$는 보편 현수환이다.)
  • (J) ${\displaystyle A}$의 소 아이디얼 가운데, 정칙 국소환을 정의하는 것들의 집합은 ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ 속의 열린집합이다.

만약 (C)조건을 생략한다면, 준탁월한 가환환(영어: quasiexcellent commutative ring)이라고 한다.

보다 일반적으로, 탁월한 가환환의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는 국소 뇌터 스킴을 탁월한 스킴(영어: excellent scheme)이라고 한다.

성질

임의의 탁월한 가환환의 소 아이디얼 (스펙트럼의 점) 가운데, 정칙 국소환을 정의하는 것들의 집합은 열린집합이다. 즉, 특이점들의 집합은 닫힌집합이다.

연산에 대한 닫힘

탁월한 가환환 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환환들 역시 탁월한 가환환이다.

• 곱셈 부분 모노이드 ${\displaystyle S\subseteq R}$에 대하여, 국소화 ${\displaystyle S^{-1}R}$
• 다항식환 ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$
• 임의의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}$에 대하여, 몫환 ${\displaystyle R/{\mathfrak {i}}}$

탁월한 가환환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq R}$가 주어졌을 때, 완비화

${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim _{n\to \infty }R/{\mathfrak {i}}^{n}}$

를 취할 수 있다. 이 경우, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, ${\displaystyle {\hat {R}}}$ 역시 탁월한 가환환이다.^{[1]:Theorem 1.11}

• ${\displaystyle R}$의 극대 아이디얼의 수는 유한하다.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq R}$이다.

예

다음과 같은 가환환은 탁월한 가환환이다.

• 자명환 ${\displaystyle 0}$
• 모든 체
• 모든 뇌터 완비 국소환
• 표수가 0인 데데킨트 정역

반례

양의 표수에서는 탁월한 가환환이 아닌 이산 값매김환이 존재한다. 구체적으로,

• 소수 ${\displaystyle p}$
• 표수 ${\displaystyle p}$의 체 ${\displaystyle K}$. 또한 ${\displaystyle [K:K^{p}]=\infty }$라고 하자. (${\displaystyle K^{p}=\{a^{p}\colon a\in K\}}$는 프로베니우스 사상의 치역이다.)

이 경우,

${\displaystyle R=\left\{\sum _{i}a_{i}x^{i}\in K[\![x]\!]\colon [K^{p}(a_{0},a_{1},\dots ):K^{p}]<\infty \right\}\subsetneq K[\![x]\!]}$

라고 하자. 그렇다면 이는 이산 값매김환이며 따라서 보편 현수환이지만, 탁월한 가환환이 아니다.

역사

탁월한 가환환의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 1965년에 도입하였다.