프톨레마이오스 정리

기하학에서 프톨레마이오스 정리(Ptolemaeus定理, 영어: Ptolemy's theorem) 또는 톨레미 정리(Ptolemy定理)는 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.

프톨레마이오스 정리의 도해

정의

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 ${\displaystyle ABCD}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}$

이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.

증명

삼각형의 닮음을 통한 증명

삼각형의 닮음을 통한 증명의 도해

사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 외접원의 호 ${\displaystyle AB}$와 ${\displaystyle BC}$의 원주각의 성질에 의하여 ${\displaystyle \angle BAC=\angle BDC}$이고 ${\displaystyle \angle ADB=\angle ACB}$이다. 선분 ${\displaystyle AC}$ 위에서 ${\displaystyle \angle ABK=\angle CBD}$를 만족시키는 점 ${\displaystyle K}$를 잡자. 그러면 ${\displaystyle \angle ABD=\angle CBK}$이다. 따라서, 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABK}$와 ${\displaystyle \triangle DBC}$는 닮음이고, 삼각형 ${\displaystyle \triangle ABD}$와 ${\displaystyle \triangle KBC}$ 역시 닮음이므로,

${\displaystyle {\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}}$

와

${\displaystyle {\frac {CK}{BC}}={\frac {AD}{BD}}}$

가 성립한다. ${\displaystyle AK+CK=AC}$이므로

${\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=AK\cdot BD+CK\cdot BD=AC\cdot BD}$

이다.

반전을 통한 역증명

반전을 통한 증명의 도해

중심이 ${\displaystyle D}$인 단위원에 대한 반전에 대한 ${\displaystyle A,B,C}$의 상을 ${\displaystyle A',B',C'}$이라고 하자. 그러면 ${\displaystyle A',B',C'}$은 서로 다른 공선점이며, ${\displaystyle B'}$은 ${\displaystyle A'}$와 ${\displaystyle C'}$ 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여

${\displaystyle A'B'={\frac {AB}{AD\cdot BD}}}$

${\displaystyle B'C'={\frac {BC}{BD\cdot CD}}}$

${\displaystyle A'C'={\frac {AC}{AD\cdot CD}}}$

이며, ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'}$이므로,

${\displaystyle {\frac {AB}{AD\cdot BD}}+{\frac {BC}{BD\cdot CD}}={\frac {AC}{AD\cdot CD}}}$

가 성립한다.

따름정리

삼각 함수 항등식

프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.^{[1]:309, Historical note 10.9.2.1} 즉, 내접 사각형 ${\displaystyle ABCD}$의 대각선 ${\displaystyle AC}$가 내접원의 중심 ${\displaystyle O}$를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 ${\displaystyle \angle BOC=2\theta }$이고 ${\displaystyle \angle COD=2\varphi }$라고 하자. 그러면

${\displaystyle AC=2}$

${\displaystyle BD=2\sin(\theta +\varphi )}$

${\displaystyle AB=2\cos \theta }$

${\displaystyle CD=2\sin \varphi }$

${\displaystyle AD=2\cos \varphi }$

${\displaystyle BC=2\sin \theta }$

이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여

${\displaystyle \sin(\theta +\varphi )=\cos \theta \sin \varphi +\cos \varphi \sin \theta }$

가 성립한다.

프톨레마이오스 정리의 역

프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형 ${\displaystyle ABCD}$가

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}$

를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.

프톨레마이오스 부등식

프톨레마이오스 부등식(Ptolemaeus不等式, 영어: Ptolemy's inequality)에 따르면, 임의의 사각형 ${\displaystyle ABCD}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+AD\cdot BC}$

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 내접 사각형이다.

보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 ${\displaystyle A,B,C,D}$에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:309, Proposition 10.9.2}

• 다음 가운데 하나가 성립한다.
  • ${\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BD+AD\cdot BC}$
  • ${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}$
  • ${\displaystyle AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD}$
• 공원점이거나 공선점이다.

역사

고대 그리스의 천문학자이자 수학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.^{[1]:309, Historical note 10.9.2.1}

같이 보기

• 활꼴
• 현