퇴플리츠 연산자

연산자 이론에서 퇴플리츠 연산자(Toeplitz operator)는 하디 공간에 대한 원 위의 곱셈 연산자의 압축이다.

자세한 내용

${\displaystyle S^{1}}$을 복소 평면의 단위 원으로, 표준 르베그 측도를 가지며, ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$을 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간이라고 하자. ${\displaystyle S^{1}}$ 위의 유계 가측 복소수 값 함수 ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$에 대한 곱셈 연산자 ${\displaystyle M_{g}}$를 정의한다. ${\displaystyle P}$를 ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$에서 하디 공간 ${\displaystyle H^{2}}$로의 투영이라고 하자. 심볼 ${\displaystyle g}$를 가진 퇴플리츠 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},}$

여기서 " | "는 제한을 의미한다.

${\displaystyle H^{2}}$ 위의 유계 연산자는 기저 ${\displaystyle \{z^{n},z\in \mathbb {C} ,n\geq 0\}}$에서 행렬 표현이 상수 대각선을 갖는 경우에만 퇴플리츠 연산자이다.

정리

• 정리: 만약 ${\displaystyle g}$가 연속이면, ${\displaystyle T_{g}-\lambda }$는 ${\displaystyle \lambda }$가 집합 ${\displaystyle g(S^{1})}$에 속하지 않는 경우에만 프레드홀름이다. 만약 프레드홀름이라면, 그 지수는 원점에 대한 ${\displaystyle g}$가 그리는 곡선의 회전 수의 음수이다.

증명은 Douglas (1972, p.185) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFDouglas1972 (help)를 참조하라. 그는 이 정리를 마르크 크레인, 해럴드 위덤, 앨런 데비나츠에게 돌린다. 이것은 아티야-싱어 지수 정리의 중요한 특별한 경우로 간주될 수 있다.

• 액슬러-장성룽-새러슨 정리: 연산자 ${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}}$는 ${\displaystyle H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1})}$인 경우에만 콤팩트이다.

여기서 ${\displaystyle H^{\infty }}$는 ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$의 해석 함수(음의 푸리에 계수가 0인 함수)의 닫힌 부분 대수, ${\displaystyle H^{\infty }[f]}$는 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle H^{\infty }}$에 의해 생성된 ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$의 닫힌 부분 대수, ${\displaystyle C^{0}(S^{1})}$은 원 위의 연속 함수 공간(대수적 집합으로서)을 나타낸다. S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978) harvtxt error: 대상 없음: CITEREFS.Axler,_S-Y._Chang,_D._Sarason1978 (help)을 참조하라.

같이 보기

• 퇴플리츠 행렬