아티야-싱어 지표 정리

미분기하학에서 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.^{[1][2][3]:§10–11[4][5][6][7]:§12.8, 477–480; §12.10, 487–500[8][9]} 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

정의

${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle m}$차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, ${\displaystyle E^{i}}$가 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. ${\displaystyle M}$ 위의 타원 복합체

${\displaystyle \cdots {\stackrel {D_{i-2}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i-1}){\stackrel {D_{i-1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i}){\stackrel {D_{i}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i+1}){\stackrel {D_{i+1}}{\longrightarrow }}\cdots }$

의 해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ind} (D_{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\dim(\ker D_{i}/\operatorname {im} D_{i-1})}$

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {ind} }$는 프레드홀름 지표이다.

타원 복합체의 위상 지표(영어: topological index)는 다음과 같다.^{[7]:Theorem 12.2}

${\displaystyle \operatorname {ind} (D_{\bullet })=(-)^{m(m+1)/2}\int _{M}\operatorname {ch} \left(\bigoplus _{i}(-1)^{i}E_{i}\right){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}{\mathrm {e} (\mathrm {T} M)}}}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {ch} }$는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}$는 ${\displaystyle M}$의 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$의 복소화의 토드 특성류이다.
• ${\displaystyle \operatorname {e} (\mathrm {T} M)}$은 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$의 오일러 특성류이다.

이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, ${\displaystyle m=\dim M}$이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자

${\displaystyle D\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

에 대하여, 이를 타원 복합체

${\displaystyle 0\to \Gamma (E)\,{\overset {D}{\to }}\,\Gamma (F)\to 0}$

로 간주하면, 다음을 얻는다.

${\displaystyle \dim \ker D-\dim \ker D^{\dagger }=(-)^{m(m+1)/2}\int _{M}(\operatorname {ch} E-\operatorname {ch} F){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M^{\mathbb {C} })}{\operatorname {e} (\mathrm {T} M)}}}$

예

수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

오일러 지표

${\displaystyle M}$이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\Omega ^{1}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\Omega ^{2}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\dotsb }$

에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 ${\displaystyle \chi (M)}$이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 ${\displaystyle e(M)}$의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem)

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(M)}$

를 얻는다.

계산:

미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq m}\exp(-x_{i})}$

여기서 ${\displaystyle x_{i}}$는 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} }$를 분할 원리로 ${\displaystyle m}$개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때 ${\displaystyle i}$번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로

${\displaystyle x_{i+m/2}=-x_{i}}$

로 놓을 수 있다.

즉

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )=\prod _{i=1}^{k}(1-\exp(-x_{i}))}$

이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각

${\displaystyle \operatorname {Td} =\prod _{i=1}^{m}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}}$

${\displaystyle \operatorname {e} =\prod _{i=1}^{m/2}x_{i}}$

이므로, 지표 밀도는

${\displaystyle (-)^{m(m+1)/2}\left(\sum _{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )\right){\frac {\operatorname {Td} }{\operatorname {e} }}=(-)^{m(m+1)/2}\prod _{i=m/2+1}^{m}x_{i}=(-)^{m(m+2)/2}\prod _{i=1}^{m/2}x_{i}=\operatorname {e} (\mathrm {T} M)}$

이다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리

 이 부분의 본문은 히르체브루흐-리만-로흐 정리입니다.

아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. ${\displaystyle M}$이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체

${\displaystyle \Omega ^{p,0}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\dotsb }$

에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 ${\displaystyle E}$의 코호몰로지의 오일러 지표

${\displaystyle \chi (M,E)=h^{0}(M,E)-h^{1}(M,E)+h^{2}(M,E)-\dotsb }$

이고, 그 위상 지표는

${\displaystyle \int _{M}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (TM)}$

이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

계산:

복소수 차원이 ${\displaystyle n=m/2}$라고 하자. 분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자.

${\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M=L_{1}\oplus \dotsb \oplus L_{n}}$

또한

${\displaystyle \operatorname {c} _{1}(L_{i})=x_{i}}$

라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-*}M\right)=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{p}\leq n}\exp(x_{i})}$

이며, 따라서

${\displaystyle \sum _{p=0}^{n}(-)^{p}\operatorname {ch} \left(E\otimes \bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-*}M\right)=\operatorname {ch} (E)\prod _{i=1}^{p}(1-\exp x_{i})}$

이다.

이제

${\displaystyle \operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{-}M)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {x_{i}(-x_{i})}{(1-\exp(-x_{i}))(1-\exp x_{i})}}}$

${\displaystyle \operatorname {e} (\mathrm {T} M)=x_{1}x_{2}\dotsm x_{n}}$

이므로, 지표 밀도는

${\displaystyle (-)^{n(2n+1)}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-x_{i})(1-\exp x_{i})}{x_{i}(1-\exp x_{i})}}=\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)}$

이다.

${\displaystyle E}$가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 ${\displaystyle \operatorname {ind} {\bar {\partial }}}$이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {ind} {\bar {\partial }}=\int _{M}\operatorname {Td} (TM)}$

디랙 연산자

${\displaystyle M}$이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발

${\displaystyle \mathrm {S} (M)=\mathrm {S} ^{+}(M)\oplus \mathrm {S} ^{-}(M)}$

을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }={\begin{pmatrix}0&D\\D^{\dagger }&0\end{pmatrix}}}$

는 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle S^{+}(M){\xrightarrow {D}}S^{-}(M)}$

${\displaystyle S^{+}(M){\xleftarrow {D^{\dagger }}}S^{-}(M)}$

이에 따라, 디랙 연산자 ${\displaystyle D}$의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ind} (D)=\ker D-\ker D^{\dagger }=\int _{M}{\hat {A}}}$

여기서 ${\displaystyle {\hat {A}}}$는 디랙 종수(영어: Dirac genus) 또는 Â 종수(영어: Â-genus 에이 햇 지너스^[*])라고 불리는 특성류로,

${\displaystyle {\hat {A}}=\prod _{i=1}^{\dim M}{\frac {x_{i}/2}{\sinh(x_{i}/2)}}=1-{\frac {1}{24}}p_{1}+{\frac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})+\dotsb \in \operatorname {H} ^{2\bullet }(M;\mathbb {Q} )}$

이다. 여기서 ${\displaystyle p_{i}}$는 폰트랴긴 특성류이고, ${\displaystyle x_{i}}$는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 ${\displaystyle R}$의 고윳값들

${\displaystyle -R/2\pi ={\begin{pmatrix}0&x_{1}\\-x_{1}&0\\&&0&x_{2}\\&&-x_{2}&0\\&&&&0&x_{3}\\&&&&-x_{3}&0\\&&&&&&\ddots \end{pmatrix}}}$

이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

역사

마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다.^{[10][11][12][13][14]} 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다.^[15] 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.^[16][17][18]

1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.^[19][20] 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(영어: Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.^[21] 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.