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중심 (대수학)
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추상대수학에서 중심(中心, 미국 영어: center)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.
정의
이항 연산 을 가진 대수 구조 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 중심 은 다음과 같은 부분 집합이다.
일부 대수 구조의 경우, 이는 의 부분 대수를 이룬다.
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성질
요약
관점
만약 이항 연산에 대한 항등원 이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.
만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 에 대하여 역원 이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.
이는 임의의 에 대하여
이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.
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주요 대수 구조의 중심
군의 중심
모노이드의 중심
모노이드 의 중심 은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, 이다.
환의 중심
유사환 의 중심은 곱셈 에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, 는 위의 결합 대수를 이룬다.
환 의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며,는 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.
예
요약
관점
군의 중심
대표적인 군의 중심은 다음과 같다.
환의 중심
사원수의 나눗셈환 의 중심은 실수체 이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.
행렬환 의 중심은 스칼라 행렬
이다. 행렬환은 이에 따라 위의 단위 결합 대수를 이룬다.
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참고 문헌
- Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. OCLC 248917264. Zbl 1037.00003. [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
외부 링크
- “Centre of a group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Centre of a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Group center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
같이 보기
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